有限次元ベクトル空間の双対空間の基底の構成をまとめる
関数解析を勉強していて,有限次元ベクトル空間の双対空間(dual space)の基底(basis)(双対基底(dual basis))の構成についてモヤモヤしてしまったので,メモしておくことにしました.Kreyszig(1989)のsection2.9をベースにしてまとめます.
問題を設定するため,いくつか準備をします.
線形汎関数の定義は文献[3]にあります.
双対空間の定義は文献[4]にあります.
クロネッカーのデルタの定義は文献[5]にあります.
本記事の目的に進みます.
有限次元ベクトル空間 の基底 とします. です. 上のあらゆる線形汎関数 とあらゆる について以下が成り立ちます. は により一意に決定されることがわかります.
(5b)
(5b)
逆に言うと, のあらゆる組は 上の線形汎関数 を(5a)(5b)により決定します.特に, の以下の 通りの組を考えます.
(5a)(5b)よりこれらは 個の線形汎関数(の値 )を与えます.それぞれ以下の線形汎関数となります. はクロネッカーのデルタです.
(6)
このように構成する は の双対空間 の基底になっており, の基底 の双対基底といいます.そのことを示す以下の定理が成り立ちます.
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.9-1 定理 ( の次元)
有限次元ベクトル空間 の基底を とする.(6)により与えられる線形汎関数の組 は の双対空間 の基底であり, である.
証明.
以下が成り立つので は線形独立である.
(7)
とおく
(6)
あらゆる は の要素の線形結合であることを示す.
したがって任意の は以下のように一意に表現できる.
(証明終わり)
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
以上,有限次元ベクトル空間の双対空間の基底の構成をまとめました.
参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
[2] Northwestern University Santiago Cañez先生のノート https://sites.math.northwestern.edu/~scanez/courses/334/notes/dual-spaces.pdf
[3] Wikipedia Linear form のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space
[4] Wikipedia Dual space のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space
[5] Wikipedia Kronecker delta のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta