エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

数学

正定値行列の逆行列は正定値であることの証明をメモする

本記事は以下の過去記事の内容を用います.分散共分散行列(と相関行列)は半正定値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ行列が半正定値(あるいは正定値)であるための必要十分条件はすべての固有値が非負(あるいは正)であることを証明する -…

逆行列の固有値は元の行列の固有値の逆数であることの証明をメモする

本記事は以下の過去記事の結果を用います.正則行列の固有値は零でないことの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ 応用上よく用いられると思われる,線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました.文献[1]をほぼ…

正則行列の固有値は零でないことの証明をメモする

応用上よく用いられると思われる,線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました.文献[1]をほぼ引用したものです.固有値(eigenvalues),固有ベクトル(eigenvectors)の定義は文献[2]にあります.'---------------------------…

行列が半正定値(あるいは正定値)であるための必要十分条件はすべての固有値が非負(あるいは正)であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います.分散共分散行列(と相関行列)は半正定値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログエルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ 応用上よく用い…

係数行列が半正定値の二次関数が最小値をもつための必要十分条件は勾配が零ベクトルであることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います.分散共分散行列(と相関行列)は半正定値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログいくつかの行列の公式を証明するその1 - エンジニアを目指す浪人のブログ 本記事は以下の過去記事の内容を既知とする…

係数行列が対称行列の二次関数が凸関数(あるいは狭義凸関数)であるための必要十分条件はその係数行列が半正定値(あるいは正定値)であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います.分散共分散行列(と相関行列)は半正定値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ 応用上よく使われる関数に,凸関数(convex function)(あるいは狭義凸関数(strictly convex))である(ベクトル値)二次…

いくつかの行列の公式を証明するその3

応用上よく使われるいくつかの行列の公式を証明しておくことにしました. (正方)行列を準備します. 逆行列(inverse matrix) ,余因子行列(adjugate matrix) (文献[4]にあります),cofactor matrix (文献[5]にあります),小行列式(minor) (文献[5]にあります…

いくつかの行列の公式を証明するその2

応用上よく使われるいくつかの行列の公式を証明しておくことにしました. ベクトルと(正方)行列を準備します. 本記事の目的に進みます.行列のトレースや微分についての以下の公式を証明します.'--------------------------------------------------------…

いくつかの行列の公式を証明するその1

応用上よく使われるいくつかの行列の公式を証明しておくことにしました. ベクトルと(正方)行列を準備します. 転置行列についての以下の性質は文献[2]にあります.(t.1) 以下を準備します.(0.1) (0.2) (0.1)で とする (0.3) (t.1) 本記事の目的に進みます…

多変量正規分布の条件付き確率分布を導出する

本記事は以下の過去記事の内容を用います.シューア補行列の定義とその背景,逆行列補題との関係をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ対称行列のシューア補行列は対称行列であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ 応用上よく使われる…

対称行列のシューア補行列は対称行列であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います.シューア補行列の定義とその背景,逆行列補題との関係をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ 対称行列のシューア補行列(Schur complement)は対称行列であることを証明しメモしておくことにしました. 記号を…

シューア補行列の定義とその背景,逆行列補題との関係をまとめる

勉強を進めていて,シューア補行列(Schur complement)について知りました.定義は難しくないのですがその背景についてモヤモヤしてしまったので,文献[1]の1章をベースにしてまとめておくことにしました.逆行列補題(matrix inversion lemma (Woodbury matri…

行列のランク落ち,列フルランク,行フルランク,フルランクそれぞれのときのムーア・ペンローズ逆行列による連立一次方程式の解の意味について考える

本記事は以下の過去記事の内容を用います.ムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログムーア・ペンローズ逆行列による連立一次方程式の解表現について考える - エンジニアを目指す浪人のブログ行列の…

行列のランクに仮定をおかないときの最小二乗法の解表現と列フルランクを仮定することの意味について考える

本記事は以下の過去記事の内容を用います.最小二乗法の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログムーア・ペンローズ逆行列と元の行列の4つの基本部…

ムーア・ペンローズ逆行列による連立一次方程式の解表現について考える

本記事は以下の過去記事の結果を用います.一般化逆行列の定義の意味について考える - エンジニアを目指す浪人のブログムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログムーア・ペンローズ逆行列と元の行列…

最小ノルム解の基礎をまとめる

本記事は以下の過去記事の内容を用います.制約付き最小二乗法の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ行列における全射,左零空間が零ベクトルのみ,行フルランクは同値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブロググラム行列につい…

制約付き最小二乗法の基礎をまとめる

本記事は以下の過去記事の内容を用います.最小二乗法の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ多目的最小二乗法の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ 勉強を進めていて,制約付き最小二乗法(constrained least squares method)につ…

多目的最小二乗法の基礎をまとめる

本記事は以下の過去記事で得た結果を用います.最小二乗法の基礎をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブロググラム行列についての定理を証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ 勉強を進めていて,多目的最小二乗法(multi-objective least squares met…

最小二乗法の基礎をまとめる

本記事は以下の過去記事で得た結果を用います.行列における単射,核(カーネル)が零ベクトルのみ,列フルランクは同値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ行列のランク落ち,列フルランク,行フルランク,フルランクそれぞれのときの4つ…

ムーア・ペンローズ逆行列と元の行列の4つの基本部分空間との関係について考える

勉強を進めていて,ムーア・ペンローズ逆行列(Moore-Penrose inverse)(擬似逆行列(pseudoinverse))を線形写像と解釈する場合において,元の行列の4つの基本部分空間とどのような関係にあるか,幾何的にどのような意味をもつか,に興味をもちました.これらの…

ムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめる

勉強を進めていて,ムーア・ペンローズ逆行列(Moore-Penrose inverse)(擬似逆行列(pseudoinverse))について知りました.応用でよく使われているようなので,その定義,構成,一意性について文献[1]の4章をベースにしてまとめておくことにしました. ========…

行列のランク落ち,列フルランク,行フルランク,フルランクそれぞれのときの4つの基本部分空間を図示する

本記事は以下の過去記事の結果を用います.4つの基本部分空間について考える - エンジニアを目指す浪人のブログ行列における単射,核(カーネル)が零ベクトルのみ,列フルランクは同値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ行列における全射…

行列における全射,左零空間が零ベクトルのみ,行フルランクは同値であることを証明する

本記事は以下の過去記事の結果を用います. 4つの基本部分空間について考える - エンジニアを目指す浪人のブログ 行列における単射,核(カーネル)が零ベクトルのみ,列フルランクは同値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ 勉強を進めて…

行列における単射,核(カーネル)が零ベクトルのみ,列フルランクは同値であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います. 線形写像が単射であるための必要十分条件は核(カーネル)が零ベクトルであることの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ 勉強を進めていて,行列の単射(injective)(one-to-one),核(カーネル)(kernel)(…

行列の階数分解の存在と非一意性を証明する

勉強を進めていて,行列の階数分解((full) rank factorization)について知りました.聞き慣れない概念でモヤモヤしてしまったので,その基本的な性質である存在と非一意性についての証明を文献[1]の3章をベースにしてまとめておくことにしました.==========…

4つの基本部分空間について考える

勉強を進めていて,4つの基本部分空間(four fundamental subspaces)についてモヤモヤしてしまいました.線形代数を理解する上で非常に重要な概念だと感じるので,その内容をまとめることにしました.4つの基本部分空間とは,行列の行空間(row space),列空間…

一般化逆行列の定義の意味について考える

勉強を進めていて,一般化逆行列(generalized inverse)というものを知りました.その定義の意味についてモヤモヤしてしまったので,調べてまとめることにしました. 問題を設定するため,いくつか準備をします. 以下の定義を文献[3]から引用します(記号を一…

グラム行列についての定理を証明する

勉強を進めていて,グラム行列(Gram matrix)というものを知りました.少し調べてみて,Horn and Johnson(2013)にある記述がわかりやすかったので,その定理と証明をメモすることにしました. 問題を設定するため,いくつか準備をします.張る部分空間,ラン…

行列のランクプリンシプルの定義をまとめる

勉強を進めていて,行列に対するランクプリンシプル(rank principal)という性質を知りました.見慣れない定義でモヤモヤしてしまったので,Horn and Johnson(2013)を参考にしてまとめることにしました. 記法の説明をします. 行列 と添字集合(index set) を…

半正定値行列が正定値であるための必要十分条件は正則であることを証明する

勉強を進めていて,Horn and Johnson(2013)に記述がある,半正定値行列における正定値性と正則性との関係について重要に感じたので,その内容と証明をメモすることにしました. 問題を設定するため,いくつか準備をします. Horn and Johnson(2013) Definiti…