エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

確率過程の定義についてすこし考える

確率過程(stochastic process)というと,時間とともに変動し実数(or実数を要素とするベクトル)に値をとる確率変数,を目にする機会が多いと思います.数学的な定義はどのようなものでしょうか.例えば,Kuo(2006)には以下のように書いてあります.
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Let { \displaystyle (\Omega, \mathscr{F},P) } be a probability space. A stochastic process is a measurable function { \displaystyle X(t,\omega) } defined on the product space { \displaystyle [0,\infty) \times \Omega }. In particular,
(a) for each { \displaystyle t }, { \displaystyle X(t,\cdot) } is a random variable,
(b) for each { \displaystyle \omega }, { \displaystyle X(\cdot,\omega) } is a measurable function (called a sample path).
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シンプルでわかりやすいですが,"0以上の実数(時間)"という抽象的でない概念を用いた定義(この本ではこれで十分だからと思われます,disっているわけではありません)になっていて,これでは応用が利きません.ではより一般化した定義はどんなものかというと,Revuz and Yor(2004)の以下の記述がわかりやすいです.{ \displaystyle \mathbb{N}=\{0,1,\cdots \} ,\mathbb{R}_+=[0,\infty) } です.
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(1.1) Definition.  Let  { \displaystyle T } be a set, { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } a measurable space. A stochastic process indexed by  { \displaystyle T }, taking it values in { \displaystyle (E, \mathscr{G}) }, is a family of measurable mappings { \displaystyle X_t, t \in T, } from a probability space { \displaystyle (\Omega, \mathscr{F},P) } into { \displaystyle (E, \mathscr{G}) }. The space { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } is called the state space.

 The set  { \displaystyle T} may be thought of as "time". The most usual cases are  { \displaystyle T = \mathbb{N}}  and  { \displaystyle T = \mathbb{R}_+ }, but they are by no means the only interesting ones. In this book, we deal mainly with the case  { \displaystyle T = \mathbb{R}_+ } and  { \displaystyle E } will usually be  { \displaystyle \mathbb{R}^d } or a Borel subset of  { \displaystyle \mathbb{R}^d } and  { \displaystyle \mathscr{G} } the Borel { \displaystyle \sigma }-field on { \displaystyle E }.
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ということでこの記事の目的は達成されてしまいましたが,日本語にしてみます.
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(1.1) 定義.  { \displaystyle T } を集合,{ \displaystyle (E, \mathscr{G}) } を可測空間とする. { \displaystyle T } で添字づけられる { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } に値をとる確率過程とは,確率空間 { \displaystyle (\Omega, \mathscr{F},P) } から { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } への可測写像の族 { \displaystyle X_t, t \in T, } のことである.空間 { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } を状態空間という.

集合  { \displaystyle T} は"時間"として考えられるかもしれない.最もよくあるケースは { \displaystyle T = \mathbb{N}}{ \displaystyle T = \mathbb{R}_+ } である.しかしこれらのみに興味があるわけではない.この本では,{ \displaystyle T = \mathbb{R}_+ } の場合を主に扱い,通常 { \displaystyle E }{ \displaystyle \mathbb{R}^d } あるいは { \displaystyle \mathbb{R}^d } のボレル部分集合とし,{ \displaystyle \mathscr{G} }{ \displaystyle E } 上のボレル{ \displaystyle \sigma }加法族とする.
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定義では集合 { \displaystyle T } と可測空間{ \displaystyle (E, \mathscr{G}) } という抽象的な概念を使っておいて,"離散時間(0以上の整数)or連続時間(0以上の実数)"や"実数(or実数を要素とするベクトル)"はその特別な場合として考える,ということです.

なお,可測写像(Measurable mapping)の定義に基づき「確率空間 { \displaystyle (\Omega, \mathscr{F},P) } から { \displaystyle (E, \mathscr{G}) } への可測写像の族 { \displaystyle X_t, t \in T, }」の部分を定式化すると以下となります.
{ \displaystyle X_t^{-1}(G)= \{\omega:X_t(\omega)\in G \}\in \mathscr{F} \;\;\;\;\; {\rm for \; each}\;\; G \in \mathscr{G},\; t \in T }

 


以上,基本的な事項を並べてみましたが,確率過程のイメージがつかめると思います.
 

参考文献
[1] Revuz, D., and Yor, M. (2004), Continuous Martingales and Brownian Motion (3rd Edition), Springer.
[2] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[3] 可測写像(Measurable mapping)の定義 https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Measurable_mapping