確率過程の定義についてすこし考える - エンジニアを目指す浪人のブログ

確率過程(stochastic process)というと，時間とともに変動し実数(or実数を要素とするベクトル)に値をとる確率変数，を目にする機会が多いと思います．数学的な定義はどのようなものでしょうか．例えば，Kuo(2006)には以下のように書いてあります．
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Let $(\Omega, \mathscr{F},P)$ be a probability space. A stochastic process is a measurable function $X(t,\omega)$ defined on the product space $[0,\infty) \times \Omega$ . In particular,
(a) for each $t$ , $X(t,\cdot)$ is a random variable,
(b) for each $\omega$ , $X(\cdot,\omega)$ is a measurable function (called a sample path).
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シンプルでわかりやすいですが，"0以上の実数(時間)"という抽象的でない概念を用いた定義(この本ではこれで十分だからと思われます，disっているわけではありません)になっていて，これでは応用が利きません．ではより一般化した定義はどんなものかというと，Revuz and Yor(2004)の以下の記述がわかりやすいです． $\mathbb{N}=\{0,1,\cdots \} ,\mathbb{R}_+=[0,\infty)$ です．
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(1.1) Definition. Let $T$ be a set, $(E, \mathscr{G})$ a measurable space. A stochastic process indexed by $T$ , taking it values in $(E, \mathscr{G})$ , is a family of measurable mappings $X_t, t \in T,$ from a probability space $(\Omega, \mathscr{F},P)$ into $(E, \mathscr{G})$ . The space $(E, \mathscr{G})$ is called the state space.

The set $T$ may be thought of as "time". The most usual cases are $T = \mathbb{N}$ and $T = \mathbb{R}_+$ , but they are by no means the only interesting ones. In this book, we deal mainly with the case $T = \mathbb{R}_+$ and $E$ will usually be $\mathbb{R}^d$ or a Borel subset of $\mathbb{R}^d$ and $\mathscr{G}$ the Borel $\sigma$ -field on $E$ .
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ということでこの記事の目的は達成されてしまいましたが，日本語にしてみます．
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(1.1) 定義. $T$ を集合， $(E, \mathscr{G})$ を可測空間とする. $T$ で添字づけられる $(E, \mathscr{G})$ に値をとる確率過程とは，確率空間 $(\Omega, \mathscr{F},P)$ から $(E, \mathscr{G})$ への可測写像の族 $X_t, t \in T,$ のことである．空間 $(E, \mathscr{G})$ を状態空間という．

集合 $T$ は"時間"として考えられるかもしれない．最もよくあるケースは $T = \mathbb{N}$ と $T = \mathbb{R}_+$ である．しかしこれらのみに興味があるわけではない．この本では， $T = \mathbb{R}_+$ の場合を主に扱い，通常 $E$ は $\mathbb{R}^d$ あるいは $\mathbb{R}^d$ のボレル部分集合とし， $\mathscr{G}$ を $E$ 上のボレル $\sigma$ 加法族とする．
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定義では集合 $T$ と可測空間 $(E, \mathscr{G})$ という抽象的な概念を使っておいて，"離散時間(0以上の整数)or連続時間(0以上の実数)"や"実数(or実数を要素とするベクトル)"はその特別な場合として考える，ということです．

なお，可測写像(Measurable mapping)の定義に基づき「確率空間 $(\Omega, \mathscr{F},P)$ から $(E, \mathscr{G})$ への可測写像の族 $X_t, t \in T,$ 」の部分を定式化すると以下となります．
$X_t^{-1}(G)= \{\omega:X_t(\omega)\in G \}\in \mathscr{F} \;\;\;\;\; {\rm for \; each}\;\; G \in \mathscr{G},\; t \in T$

以上，基本的な事項を並べてみましたが，確率過程のイメージがつかめると思います．

参考文献
[1] Revuz, D., and Yor, M. (2004), Continuous Martingales and Brownian Motion (3rd Edition), Springer.
[2] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[3] 可測写像(Measurable mapping)の定義 https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Measurable_mapping