フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

確率過程を用いる文献を読んでいるとフィルトレーション(filtration)という概念がでてきます．自分の頭を整理するため，その定義がどのように導入されるのか，どのように説明しているか，についていくつかの教科書を調べることにしました．本記事では離散時間確率過程について取り扱い，次の記事で連続時間確率過程について取り扱います．

Williams(1991)から引用します． $\mathsf{Z^+}:= \{ 0,1,2,\cdots \}$ です．

10.1 Filtered spaces
As basic datum, we now take a filtered space $(\Omega,\mathcal{F},\{ \mathcal{F_n} \},\mathsf{P})$ . Here,
$(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$ is a probability triple as usual,
$\{ \mathcal{F_n}: n \ge 0 \}$ is a filtration, that is, an increasingly family of sub- $\sigma$ -algebras of $\mathcal{F}$ :
                 $\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}$ .
We define
                 $\mathcal{F}_\infty := \sigma \left( \bigcup_n \mathcal{F_n} \right) \subseteq \mathcal{F}$ .

Intuitive idea. The information about $\omega$ in $\Omega$ available to us at (or, if you prefer, just after) time $n$ consists precisely of the values of $Z(\omega)$ for all $\mathcal{F}_n$ measurable function $Z$ . Usuallly, $\{ \mathcal{F}_n \}$ is the natural filtration
                 $\mathcal{F}_n = \sigma(W_0,W_1, \cdots ,W_n)$
of some (stochastic) process $\{ W = (W_n:n \in \mathsf{Z^+}) \}$ , and then the information about $\omega$ which we have at time $n$ consists of the values
                 $W_0(\omega),W_1(\omega),\cdots,W_n(\omega)$ .

直感的に，以下のように解釈してよいことがわかります．
・フィルトレーション $\{ \mathcal{F}_n \}$ は $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$ -加法族であり，確率過程により生成される $\sigma$ -加法族(wikipediaも参照ください)である
・ある時点において利用できる $\omega$ に関する情報は，その時点までの確率変数(の実現値の)列である

ついでに，適合過程の定義も載せておきます．

10.2 Adapted process
A process $X=(X_n: n \ge 0)$ is called adapted (to the filtration $\{ \mathcal{F}_n \}$ ) if for each $n$ , $X_n$ is $\mathcal{F}_n$ -measurable.
Intuitive idea. If $X$ is adapted, the value $X_n(\omega)$ is known to us at time $n$ . Usually, $\mathcal{F}_n=\sigma(W_0,W_1,\cdots,W_n)$ and $X_n = f_n (W_0,W_1,\cdots,W_n)$ for some $\mathcal{B}^{n+1}$ -measurable function $f_n$ on $\mathsf{R}^{n+1}$ .