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エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間)

確率過程を用いる文献を読んでいるとフィルトレーション(filtration)という概念がでてきます.自分の頭を整理するため,その定義がどのように導入されるのか,どのように説明しているか,についていくつかの教科書を調べることにしました.本記事では離散時間確率過程について取り扱い,次の記事で連続時間確率過程について取り扱います.

Williams(1991)から引用します.{\displaystyle \mathsf{Z^+}:= \{ 0,1,2,\cdots  \} } です.

10.1 Filtered spaces
As basic datum, we now take a filtered space {\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\{ \mathcal{F_n} \},\mathsf{P}) }. Here,
  {\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P}) } is a probability triple as usual,
  {\displaystyle \{ \mathcal{F_n}: n \ge 0 \} } is a filtration, that is, an increasingly family of sub-{\displaystyle \sigma }-algebras of {\displaystyle \mathcal{F} }:
                 {\displaystyle \mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F} }.
We define
                 {\displaystyle \mathcal{F}_\infty := \sigma \left( \bigcup_n \mathcal{F_n} \right) \subseteq \mathcal{F} }.

Intuitive idea. The information about {\displaystyle \omega } in {\displaystyle \Omega } available to us at (or, if you prefer, just after) time {\displaystyle n } consists precisely of the values of {\displaystyle Z(\omega) } for all {\displaystyle \mathcal{F}_n } measurable function {\displaystyle Z }. Usuallly, {\displaystyle \{ \mathcal{F}_n \} } is the natural filtration
                 {\displaystyle \mathcal{F}_n = \sigma(W_0,W_1, \cdots ,W_n) }
of some (stochastic) process {\displaystyle \{ W = (W_n:n \in \mathsf{Z^+}) \} }, and then the information about {\displaystyle \omega } which we have at time {\displaystyle n } consists of the values
                 {\displaystyle W_0(\omega),W_1(\omega),\cdots,W_n(\omega) }

 

直感的に,以下のように解釈してよいことがわかります.
・フィルトレーション {\displaystyle \{ \mathcal{F}_n \} } は {\displaystyle \mathcal{F}  } の部分{\displaystyle \sigma }-加法族であり,確率過程により生成される {\displaystyle \sigma }-加法族(wikipediaも参照ください)である
・ある時点において利用できる {\displaystyle \omega } に関する情報は,その時点までの確率変数(の実現値の)列である

ついでに,適合過程の定義も載せておきます.

10.2 Adapted process
A process {\displaystyle X=(X_n: n \ge 0) } is called adapted (to the filtration {\displaystyle \{ \mathcal{F}_n \} }) if for each {\displaystyle n }, {\displaystyle X_n } is {\displaystyle \mathcal{F}_n }-measurable.
Intuitive idea. If {\displaystyle X } is adapted, the value {\displaystyle X_n(\omega) } is known to us at time {\displaystyle n }. Usually, {\displaystyle \mathcal{F}_n=\sigma(W_0,W_1,\cdots,W_n) } and {\displaystyle X_n = f_n (W_0,W_1,\cdots,W_n) } for some {\displaystyle \mathcal{B}^{n+1} }-measurable function {\displaystyle f_n } on {\displaystyle \mathsf{R}^{n+1} }.



以上,離散時間確率過程におけるフィルトレーションの定義について調べてみました.次の記事では連続時間の場合について調べることにします.

 

seetheworld1992.hatenablog.com