フィルトレーションの定義を調べるその2(連続時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

本記事は前回の記事の続きです．離散時間の場合と比較しながら読むとイメージしやすいと思います．

フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

さっそく連続時間の場合の定義を調べていきます．Kuo(2006)には以下のように書いてあります．

Definition 2.5.1. A filtration on $T$ is an increasing family $\{ \mathcal{F}_t | t \in T \}$ of $\sigma$ -fields. A stochastic process $X_t,t \in T,$ is said to be adapted to $\{ \mathcal{F}_t | t \in T \}$ if for each $t$ , the random variable $X_t$ is $\mathcal{F}_t$ -measurable.

In case the filtration is not explicitly specified, then the filtration $\{ \mathcal{F}_t \}$ is understood to be the one given by $\mathcal{F}_t = \sigma \{ X_s ; s \le t \}$ .

もう少し気の利いた説明がほしいので，Revuz and Yor(2004)を見てみます．

(4.1) Definition. A filtration on the measurable space $(\Omega,\mathscr{F})$ is an increasing family $(\mathscr{F}_t)_{t \ge 0}$ of sub- $\sigma$ -algebras of $\mathscr{F}$ . In other words, for each $t$ we have a sub- $\sigma$ -algebra $\mathscr{F}_t$ and $\mathscr{F}_s \subset \mathscr{F}_t$ if $s \lt t$ . A measurable space $(\Omega,\mathscr{F})$ endowed with a filtration $(\mathscr{F}_t)_{t \ge 0}$ , is said to be a filtered space.

(4.2) Definition. A process X on $(\Omega,\mathscr{F})$ is adapted to the filtration $(\mathscr{F}_t)$ if $X_t$ is $\mathscr{F}_t$ -measurable for each $t$ .

Any process $X$ is adapted to its natural filtration $\mathcal{F}_t^0 = \sigma(X_s, s \le t)$ and $(\mathcal{F}_t)$ is to say $\mathcal{F}_t^0 \subset \mathcal{F}_t$ for each $t$ .
It is the introduction of a filtration which allows for the parameter $t$ to be really thought of as “time”. Heuristically speaking, the $\sigma$ -algebra $\mathcal{F}_t$ is the collection of events which may occur before or at time $t$ or, in other words, the set of possible pasts up to time $t$ . In the case of stationary prcesses, where the law invariant, it is the measurability with respect to $\mathcal{F}_t$ which places the event in time.

上記のうち，フィルトレーションの解釈についての記述を和訳すると以下となりそうです．
・フィルトレーションの導入によりパラメータ $t$ を時間の概念として考えることができる
・フィルトレーション( $\sigma$ -加法族) $(\mathcal{F}_t)$ は，時点 $t$ あるいはそれ以前に起こるかもしれない事象の族，いいかえると，時点 $t$ までの過去と解釈できる
・法則不変の確率過程においては， $(\mathcal{F}_t)$ に関する可測性は事象を(時点 $t$ あるいはそれ以前の)時間に配置することと解釈できる

また，Kuo(2006)の記述にあるフィルトレーションの構成はRevuz and Yor(2004)の記述にある自然なフィルトレーション(natural filtration)と同じものです．

以上，2つの記事でフィルトレーションが教科書でどのように導入されているか調べてみました．まずは離散時間で考えればイメージしやすく，連続時間はそのアナロジーであるとして納得すればよさそうです．

参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Revuz, D., and Yor, M. (2004), Continuous Martingales and Brownian Motion (3rd Edition), Springer.
[3] Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press.