エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

有界線形作用素の定義の有界についてすこし考える

関数解析の勉強をしていて,有界線形作用素(bounded linear operator)の定義のうち,有界とはどういう意味であるか,をさくっと理解できずにモヤモヤしてしまったので,その解釈をメモしておくことにしました.

問題を設定するため,過去記事2.2-1 Definition (Normed space, Banach space). を用います.また距離空間 {\displaystyle (X,d) } における有界集合の定義をKreyszig(1989)から引用します.

We call a nonempty subset {\displaystyle M \subset X } a bounded set if its diameter
         {\displaystyle \delta(M) = \sup_{x,y \in M} d(x,y) }
is finite.

 

線形作用素の定義もKreyszig(1989)から引用します.

In calculus we consider the real line {\displaystyle \mathbb{R} } and real-valued functions on {\displaystyle \mathbb{R} } (or on a subset of {\displaystyle \mathbb{R} }). Obviously, any such function is a mapping of its domain into {\displaystyle \mathbb{R} }. In functional analysis we consider more general spaces, such as metric spaces and normed spaces, and mappings of these spaces.
 In the case of vector spaces and, in particular, normed spaces, a mapping is called an operator.
 Of special interest are operators which “preserve” the two algebraic operations of vector space, in the sense of the following definition.
2.6-1 Definition (Linear operator).  A linear operator {\displaystyle T } is an operator such that
    (i) the domain {\displaystyle \mathscr{D}(T) } of {\displaystyle T } is a vector space and the range {\displaystyle \mathscr{R}(T) } lies in a vector space over the same field,
    (ii) for all {\displaystyle x,y \in \mathscr{D}(T) } and scalars {\displaystyle \alpha }

(1.a)           {\displaystyle T(x+y)=Tx+Ty }
(1.b)           {\displaystyle T(\alpha x)=\alpha T x }.                                                                                                           ▮

 

 以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.有界線形作用素の定義と解釈をKreyszig(1989)から引用します.

2.7-1 Definition (Bounded linear operator).  Let {\displaystyle X } and {\displaystyle Y } be normed spaces and {\displaystyle T: \mathscr{D}(T) \to Y } a linear operator, where {\displaystyle \mathscr{D}(T) \subset X }. The operator {\displaystyle T } is said to be bounded if there is a real number {\displaystyle c } such that for all {\displaystyle x \in \mathscr{D}(T) },
(1)                                   {\displaystyle ||Tx|| \le c ||x|| }.                                                                                        ▮ 

ノルムの性質 {\displaystyle ||\cdot|| \ge 0 } より {\displaystyle c \lt 0 } とはならないはずです.他の教科書を調べてみたところ,Brezis(2011)による有界線形作用素の定義には {\displaystyle c \ge 0 } であることが明示されています.先に進みます.

Formula (1) shows that a bounded linear operator maps bounded sets in {\displaystyle \mathscr{D}(T) } onto bounded sets in {\displaystyle Y }. This motivates the term bounded operator. 


いま {\displaystyle x,z \in \mathscr{D}(T) } とすると,(1)は
       {\displaystyle ||Tx - Tz|| \le c ||x - z|| }
と書き換えることができます.Kreyszig先生によると,(1)は有界集合を有界集合に写像することを示しているとのことです.つまり,作用素 {\displaystyle T }有界であるためには,
          {\displaystyle x,z }{\displaystyle \mathscr{D}(T) } 中の有界集合の要素である
          {\displaystyle \Longleftrightarrow ||x - z|| \lt \infty }
          {\displaystyle \Longrightarrow \ ||Tx - Tz|| \lt \infty }     {\displaystyle \because }   (1)
          {\displaystyle \Longleftrightarrow Tx,Tz }{\displaystyle Y } 中の有界集合の要素である
が必要である,ということのようです.


以上,有界線形作用素有界とはどのような意味か,についてその定義をもとにすこし考えてみました.


参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
[2] Brezis, H. (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer.
[3] 首都大学東京 倉田先生の講義ノート http://www.comp.tmu.ac.jp/tmu-kurata/lectures/fun10/fun100511.pdf