有界線形作用素の定義の有界についてすこし考える - エンジニアを目指す浪人のブログ

関数解析の勉強をしていて，有界線形作用素(bounded linear operator)の定義のうち，有界とはどういう意味であるか，をさくっと理解できずにモヤモヤしてしまったので，その解釈をメモしておくことにしました．

問題を設定するため，過去記事2.2-1 Definition (Normed space, Banach space). を用います．また距離空間 $(X,d)$ における有界集合の定義をKreyszig(1989)から引用します．

We call a nonempty subset $M \subset X$ a bounded set if its diameter
$\delta(M) = \sup_{x,y \in M} d(x,y)$
is finite.

線形作用素の定義もKreyszig(1989)から引用します．

In calculus we consider the real line $\mathbb{R}$ and real-valued functions on $\mathbb{R}$ (or on a subset of $\mathbb{R}$ ). Obviously, any such function is a mapping of its domain into $\mathbb{R}$ . In functional analysis we consider more general spaces, such as metric spaces and normed spaces, and mappings of these spaces.
In the case of vector spaces and, in particular, normed spaces, a mapping is called an operator.
Of special interest are operators which “preserve” the two algebraic operations of vector space, in the sense of the following definition.
2.6-1 Definition (Linear operator). A linear operator $T$ is an operator such that
(i) the domain $\mathscr{D}(T)$ of $T$ is a vector space and the range $\mathscr{R}(T)$ lies in a vector space over the same field,
(ii) for all $x,y \in \mathscr{D}(T)$ and scalars $\alpha$ ，

(1.a) $T(x+y)=Tx+Ty$
(1.b) $T(\alpha x)=\alpha T x$ . ▮

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．有界線形作用素の定義と解釈をKreyszig(1989)から引用します．

2.7-1 Definition (Bounded linear operator). Let $X$ and $Y$ be normed spaces and $T: \mathscr{D}(T) \to Y$ a linear operator, where $\mathscr{D}(T) \subset X$ . The operator $T$ is said to be bounded if there is a real number $c$ such that for all $x \in \mathscr{D}(T)$ ,
(1) $\left\| Tx \right\| \le c \left\| x \right\|$ . ▮

ノルムの性質 $\left\| \cdot \right\| \ge 0$ より $c \lt 0$ とはならないはずです．他の教科書を調べてみたところ，Brezis(2011)による有界線形作用素の定義には $c \ge 0$ であることが明示されています．先に進みます．

Formula (1) shows that a bounded linear operator maps bounded sets in $\mathscr{D}(T)$ onto bounded sets in $Y$ . This motivates the term bounded operator.

いま $x,z \in \mathscr{D}(T)$ とすると，(1)は
       $\left\| Tx - Tz \right\| \le c \left\| x - z \right\|$
と書き換えることができます．Kreyszig先生によると，(1)は有界集合を有界集合に写像することを示しているとのことです．つまり，作用素 $T$ が有界であるためには，
          $x,z$ は $\mathscr{D}(T)$ 中の有界集合の要素である
          ${\displaystyle \Longleftrightarrow \left\| x - z \right\| \lt \infty }$
          $\Longrightarrow \ \left\| Tx - Tz \right\| \lt \infty$      $\because$    (1)
          ${\displaystyle \Longleftrightarrow Tx,Tz }$ は $Y$ 中の有界集合の要素である
が必要である，ということのようです．

以上，有界線形作用素の有界とはどのような意味か，についてその定義をもとにすこし考えてみました．

参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
[2] Brezis, H. (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer.
[3] 首都大学東京倉田先生の講義ノート http://www.comp.tmu.ac.jp/tmu-kurata/lectures/fun10/fun100511.pdf