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エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

連続関数の空間はLpノルムのリーマン積分版?について完備でないことを証明する

数学 測度論 関数解析

関数解析の勉強をしていて,{\displaystyle [ a,b ] } 上の全ての実数値連続関数からなる(ベクトル)空間はノルム {\displaystyle ||f|| = \left( \int_a^b |f(x)|^p dx\right)^{1/p} } について完備ではないという事実を知りました(測度論における {\displaystyle L^p } 空間は完備であるのに!).なのでその証明をメモしておくことにしました.


問題の設定のため,ここでは {\displaystyle [ 0,1 ] } 上の全ての連続関数の集合 {\displaystyle C [ 0, 1 ] } からなる空間を考えます.ノルムは以下のように(リーマン積分を用いて)定義します.
{\displaystyle ||f||_p = \left( \int_0^1 |f(x)|^p dx\right)^{1/p} \;\;\; (1 \le p \lt \infty ) }


以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.以下の事実を証明します.

事実.
距離空間 {\displaystyle ( C [ 0, 1 ] , || \cdot ||_p) } は完備でない.

証明.
以下の関数列 {\displaystyle \{ f_n \} } を定義する.
{\displaystyle f_n(x)=\begin{cases}1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathrm{if} \;\;\; x \in [ 0, \frac{1}{2} ] \\1-n(x-\frac{1}{2}), \;\;\;\;\;\;\; \mathrm{if} \;\;\; x \in [ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n} ] \\\\0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \mathrm{if} \;\;\; x \in [ \frac{1}{2} + \frac{1}{n} , 1 ] .\end{cases} }

{\displaystyle n \lt m } として
{\displaystyle ||f_n - f_m||_p = \left( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}} |f_n(x) - f_m(x)|^p dx \right)^{1/p} }
{\displaystyle \le \left( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}} |f_n(x) |^p dx\right)^{1/p} \le \left( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}} |1|^p dx\right)^{1/p} = \left( \frac{1}{n} \right)^{1/p} \to 0 \;\;\; \mathrm{as} \;\;\; n,m \to \infty }
であるので,{\displaystyle \{ f_n \} } はコーシー列である.次に,{\displaystyle \{ f_n \} } は極限 {\displaystyle f \in C [ 0, 1 ] } を持つ,すなわち {\displaystyle || f - f_n ||_p \to 0 \;\;\; \mathrm{as} \;\;\; n \to \infty }
を仮定する.すると
{\displaystyle ||f - f_n||_p^p = \int_{0}^{1} |f(x) - f_n(x)|^p dx }
{\displaystyle = \int_{0}^{\frac{1}{2}} |f(x) - f_n(x)|^p dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}} |f(x) - f_n(x)|^p dx + \int_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^{1} |f(x) - f_n(x)|^p dx }
{\displaystyle \to 0 \;\;\; \mathrm{as} \;\;\; n \to \infty }

であり,各項の被積分関数は非負であるので,この式が成り立つためには,{\displaystyle x \neq \frac{1}{2} } の領域では
{\displaystyle f(x)=\begin{cases}1, \;\;\;\; \mathrm{if} \;\;\; x \in [ 0 , \frac{1}{2} ) \\ 0, \;\;\;\; \mathrm{if} \;\;\; x \in ( \frac{1}{2} , 1 ] .\end{cases} }
とならなければならない.これは連続関数になりえないため {\displaystyle f \in C [ 0, 1 ] } に矛盾する.したがって {\displaystyle ( C [ 0, 1 ] , || \cdot ||_p) } は完備でない.(証明終わり)

 

 話はまだ終わりません.任意の(完備でない)距離空間から完備距離空間を構成できることが知られていますが,{\displaystyle ( C [ a, b ] , || \cdot ||_p) } の完備化が測度論における {\displaystyle L^p } 空間なのです!そのことについての記述をKreyszig(1989)から引用します.

 More generally, for any fixed real number {\displaystyle p \ge 1 }, the Banach space
                                       {\displaystyle L^p [ a, b ] }
is the completion of the normed space which consists of all continuous real-valued functions on {\displaystyle [ a, b ] }, as before, and the norm defined by
(8)                           {\displaystyle ||x||_p = \left( \int_a^b |x(t)|^p dx\right)^{1/p}. }
The subscript {\displaystyle p } is supposed to remind us that this norm depends on the choice of {\displaystyle p }, which is kept fixed.  

 For readers familiar with the Lebesgue integral we want to mention that the space {\displaystyle L^p [ a, b ] } can also be obtained a direct way by the use of the Lebesgue integral and Lebesgue measurable function {\displaystyle x } on {\displaystyle [ a, b ] } such that the Lebesgue integral of {\displaystyle |x|^p } over {\displaystyle L^p [ a, b ] } exists and is finite. The element of {\displaystyle L^p [ a, b ] } are equivalence classes of those functions, where {\displaystyle x } is quivalent to {\displaystyle y } if the Lebesgue integral of {\displaystyle |x-y|^p } over {\displaystyle L^p [ a, b ] } is zero. [Note that this guarantees the validity of axiom (N2).] 

 

文献[5]では,数にたとえたイメージ!として,
・連続関数 有理数(完備でない)みたいなもの
・可測関数 実数(完備)みたいなもの
と書かれていますが,その意味は本記事で見てきたような意味であると思われます.

 

以上,距離空間 {\displaystyle ( C [ a, b ] , || \cdot ||_p) } は完備でないことを証明し,その完備化が {\displaystyle L^p } 空間であることを紹介しました.{\displaystyle L^p } 空間が完備であることの証明は例えば文献[2]にあります.

 

参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
[2] Capiński, M. and Kopp, E (2004), Measure,Integral and Probability (Second Edition), Springer.
[3] Central University City Campus of the Universidad Nacional Autonoma de Mexico (UNAM) Leonid Fridman先生のノート http://verona.fi-p.unam.mx/~lfridman/clases/matematicas/funcana.pdf
[4] Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/156904/showing-that-the-space-c0-1-with-the-l-1-norm-is-incomplete
[5] ときわ台http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/080lbg.html