連続関数の空間はLpノルムのリーマン積分版?について完備でないことを証明する
関数解析の勉強をしていて, 上の全ての実数値連続関数からなる(ベクトル)空間はノルム について完備ではないという事実を知りました(測度論における 空間は完備であるのに!).なのでその証明をメモしておくことにしました.
問題の設定のため,ここでは 上の全ての連続関数の集合 からなる空間を考えます.ノルムは以下のように(リーマン積分を用いて)定義します.
以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.以下の事実を証明します.
事実.
距離空間 は完備でない.
証明.
以下の関数列 を定義する.
として
であるので, はコーシー列である.次に, は極限 を持つ,すなわち
を仮定する.すると
であり,各項の被積分関数は非負であるので,この式が成り立つためには, の領域では
とならなければならない.これは連続関数になりえないため に矛盾する.したがって は完備でない.(証明終わり)
話はまだ終わりません.任意の(完備でない)距離空間から完備距離空間を構成できることが知られていますが, の完備化が測度論における 空間なのです!そのことについての記述をKreyszig(1989)から引用します.
More generally, for any fixed real number , the Banach space
is the completion of the normed space which consists of all continuous real-valued functions on , as before, and the norm defined by
(8)
The subscript is supposed to remind us that this norm depends on the choice of , which is kept fixed.
For readers familiar with the Lebesgue integral we want to mention that the space can also be obtained a direct way by the use of the Lebesgue integral and Lebesgue measurable function on such that the Lebesgue integral of over exists and is finite. The element of are equivalence classes of those functions, where is quivalent to if the Lebesgue integral of over is zero. [Note that this guarantees the validity of axiom (N2).]
文献[5]では,数にたとえたイメージ!として,
・連続関数 有理数(完備でない)みたいなもの
・可測関数 実数(完備)みたいなもの
と書かれていますが,その意味は本記事で見てきたような意味であると思われます.
以上,距離空間 は完備でないことを証明し,その完備化が 空間であることを紹介しました. 空間が完備であることの証明は例えば文献[2]にあります.
参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.
[2] Capiński, M. and Kopp, E (2004), Measure,Integral and Probability (Second Edition), Springer.
[3] Central University City Campus of the Universidad Nacional Autonoma de Mexico (UNAM) Leonid Fridman先生のノート http://verona.fi-p.unam.mx/~lfridman/clases/matematicas/funcana.pdf
[4] Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/156904/showing-that-the-space-c0-1-with-the-l-1-norm-is-incomplete
[5] ときわ台学 http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/080lbg.html