リーマン積分の定義を調べる
リーマン積分(Riemann integral)とはなにか?という問いに答えられるようにするため,リーマン積分の定義を調べることにしました.
Rudin(1976)から引用します.
6.1 Definition Let be a given interval. By a partition of we mean a finite set of points where
.
We write
.
Now suppose is a bounded real function defined on . Corresponding to each partition of we put
,
,,
,and finally
(1) ,
(2) ,where the and are taken over all partition of . The left members of (1) and (2) are called the upper and lower Riemann integrals of over , respectively.
If the upper and lower integrals are equal, we say that is Riemann-integrable on , we write (that is, denotes the set of Riemann-integrable functions), and we denote the common value of (1) and (2) by
(3) ,
or by
(4) .
This is the Riemann integral of over . Since is bounded, there exist two numbers, and , such that
.
Hence, for every ,
,
so that the numbers and form a bounded set. This shows that the upper and lower integrals are defined for every bounded function .
注意点は,リーマン積分の定義は被積分関数 に有界な実数値関数であることを要請している点でしょうか.また,上積分と下積分が一致すればリーマン可積分でありリーマン積分が存在する,ということですが,そのためは に(有界な実数値関数であることに加えてさらに)どのような要請が必要であるか,をこの定義から知ることはできないようです.
以上,引用しただけですが,リーマン積分の定義を調べました.
参考文献
[1] Rudin, W. (1976), Principles of Mathmatical Analysis (Third Edition), McGraw-Hill,Inc.