リーマン-スティルチェス積分の定義を調べる
本記事は以下の記事のDefinition 6.1(の一部)を用います.
リーマン積分の定義を調べる - エンジニアを目指す浪人のブログ
解析学分野を勉強していると,リーマン-スティルチェス積分(Riemann-Stieltjes integral)を目にすることがあります.リーマン積分(Riemann integral)の一般化である,とよく言われますが,理解が曖昧でモヤモヤしてしまうことがあるので,定義を調べることにしました.
準備のため,以下の定義をしておきます.Rudin(1976)から引用します.
4.28 Definition Let be real on . Then is said to be monotonically increasing on if implies . If the last inequality is reversed, we obtain the definition of a monotonically decreasing function. The class of monotonic functions consists of both the increasing and the decreasing functions.
本記事の目的に進みます.引き続きRudin(1976)から引用します.
6.2 Definition Let be a monotonically increasing function on (since and are finite, it follows that is bounded on ). Corresponding to each partition of , we write
.
It is clear that . For any real function which is bounded on we put,
,where have the same meaning as in Definition 6.1, and we define
(5) ,
(6) ,the and again being taken over all partitions.
If the left members of (5) and (6) are equal, we denote their common value by(7)
or sometimes by
(8) .
This is the Riemann-Stieltjes integral (or simply the Stieltjes integral) of with respect to , over .
If (7) exists, i.e., if (5) and (6) are equal, we say that is integrable with respect to , in the Riemann sense, and write .
By taking , the Riemann integral is seen to be a special case of the Riemann-Stieltjes integral. Let us mention explicitly, however, that in the general case need not even be continuous.
リーマン-スティルチェス積分の定義は,(リーマン積分と同様に)被積分関数 が有界な実数値関数であること,また関数 が単調増加関数であることを要請しています.上積分と下積分が一致すればリーマンの意味で について可積分でありリーマン-スティルチェス積分が存在する,ということですが,そのためは に(有界な実数値関数であることに加えてさらに)どのような要請が必要であるか, に(単調増加関数であることに加えてさらに)どのような要請が必要であるか,をこの定義から知ることはできないようです.また,リーマン積分はリーマン-スティルチェス積分の特別な場合であることが明示されています.
引き続き引用します.定義から明らかですが,リーマン-スティルチェス積分の値はいわゆる積分変数 には依存しないことが明示されています.
A few words should be said about the notation. We prefer (7) to (8), since the letter which appears in (8) adds nothing to the content of (7). It is immaterial which letter we use to represent the so-called “variable of integration”. For instance, (8) is the same as
The integral depends on and , but not on the variable of integration, which may as well be omitted.
以上,リーマン-スティルチェス積分の定義を調べました.
参考文献
[1] Rudin, W. (1976), Principles of Mathmatical Analysis (Third Edition), McGraw-Hill.