関数列の各点収束と一様収束(と数列の収束)の定義について考える
解析学分野を勉強していると,関数列の各点収束(pointwise convergence)や一様収束(uniform convergence)を目にすることがあります.そこでモヤモヤしてしまうことがあるので,定義を調べることにしました.ただ他にもよい解説がたくさんあるので,本記事ではすこし視点を変えて,英語,日本語,論理記号の3通りで表現することにします.
準備として数列の収束を定義します.Rudin(1976)から引用します.
3.1 Definition A sequence in a metric space is said to converge if there is a point with the following property: For every there is an integer such that implies that . (Here denotes the distance in .)
In this case we also say that converges to , or that is the limit of , and we write , or
.
If does not converge, it is said to diverge.
つまり,距離空間 において,数列 が に収束する,とは以下が成り立つことです. は自然数です.
(3.1.a)
For every there is an integer such that implies that .
(3.1.b)
あらゆる についてある を選べば を成り立たせることができる.
(3.1.c)
.
本題に進みます.関数列について考えていきます.
初めに各点収束を定義します.Rudin(1976)から引用します.
7.1 Definition Suppose is a sequence of functions defined on a set , and suppose that the sequence of numbers converges for every . We can then define a function by
(1) .
Under these circumstances we say that converges on and that is the limit, or the limit function, of . Sometimes we shall use a more descriptive terminology and shall say that “ converges to pointwise on ” if (1) holds.
次に一様収束を定義します.引き続き引用します.
7.7 Definition We say that a sequence of functions converges uniformly on to a function for every there is an integer such that implies
(12)
for all .
It is clear that every uniformly convergent sequence is pointwise convergent. Quite explicitly, the difference between the two concept is this; If converges pointwise on , then there exists a function such that, for every , and for every , there is an integer , depending on and on , such that (12) holds if ; if converges uniformly on , it is possible, for each , to find one integer which will do for all .
つまり,関数列 が に 上で各点収束する,とは以下が成り立つことです.
(7.1.a)
For every , and for every , there is an integer , depending on and on , such that implies that .
(7.1.b)
あらゆる についてある を選べば を成り立たせることができる.
(7.1.c)
.
また,関数列 が に 上で一様収束する,とは以下が成り立つことです(一様収束するならば各点収束する,ことがわかります).
(7.7.a)
For every there is an integer such that implies that for all .
(7.7.b)
あらゆる についてある を選べば任意の について を成り立たせることができる.
(7.7.c)
.
また同じ意味として直接以下を得ることができます.
(7.7.a)'
For every there is an integer such that implies that .
(7.7.b)'
あらゆる についてある を選べば を成り立たせることができる.
(7.7.c)'
.
この結果はRudin(1976)に定理として(証明なしで)載っているので引用しておきます.(3.1.x)と(7.1.x)'を比較するモチベーションになっている定理だと思います.
7.9 Theorem Suppose
.
Put
.
Then uniformly on if and only if as .
以上,数列の収束,関数列の各点収束,一様収束(2通りの表現がありました)の3つの概念の定義を調べ,それぞれ3通りの表現をしました.それらをいろいろ比較してみると同じ点や違う点が見えてきて,頭が整理されると思います.
参考文献
[1] Rudin, W. (1976), Principles of Mathmatical Analysis (Third Edition), McGraw-Hill.
[2] 東京大学 清野和彦先生のノート https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2007/koji07-02.pdf
[3] 慶應義塾大学 井口達雄先生のノート http://www.math.keio.ac.jp/~iguchi/Lectures/pdf/2011/Note_MA_6.pdf