エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

エルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明をメモする

応用上よく用いられると思われる,線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました. 

事実.
エルミート行列 {\displaystyle A \ (= A^* = (\bar{A})^T) } のすべての固有値は実数である.

 

証明.
{\displaystyle A } のある固有値{\displaystyle \lambda },それに対する固有ベクトル{\displaystyle x } とすると,

{\displaystyle x^* A x = x^* \lambda x = \lambda x^* x }

である.一方,{\displaystyle A = A^* } なので,

{\displaystyle x^* A x = x^* A^* x = (Ax)^* x = (\lambda x)^* x = \bar{\lambda} x^* x }

である.したがって,{\displaystyle \lambda = \bar{\lambda} } でなければならないから,{\displaystyle \lambda } は実数である.固有値 {\displaystyle \lambda } は任意にとれるので,事実は示せた.(証明終わり)

 

以上,ほぼ引用しただけですが,エルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明を調べました.


参考文献
[1] 東京学芸大学 気象学研究室のノート http://kishou.u-gakugei.ac.jp/seminars/exercise_2010/math/doc03.pdf