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行列のランクプリンシプルの定義をまとめる

勉強を進めていて,行列に対するランクプリンシプル(rank principal)という性質を知りました.見慣れない定義でモヤモヤしてしまったので,Horn and Johnson(2013)を参考にしてまとめることにしました.


記法の説明をします.
{\displaystyle n \times n } 行列 {\displaystyle A } と添字集合(index set) {\displaystyle \alpha, \beta \subseteq \{1,\ldots,n  \} } を考えます.{\displaystyle A \begin{bmatrix} \alpha,\beta \end{bmatrix} }{\displaystyle \alpha } に指示される({\displaystyle A } の)行と {\displaystyle \beta } に指示される({\displaystyle A } の)列からなる(小)行列とします. {\displaystyle A \begin{bmatrix} \alpha,\varnothing^c \end{bmatrix} }{\displaystyle \alpha } に指示される({\displaystyle A } の)行からなる行列,{\displaystyle A \begin{bmatrix} \varnothing^c,\alpha \end{bmatrix} }{\displaystyle \alpha } に指示される({\displaystyle A } の)列からなる行列となります.


準備をします.
{\displaystyle r \times r } 行列 {\displaystyle A_{11} }{\displaystyle (n-r) \times (n-r) } 行列 {\displaystyle A_{22} } として以下のような {\displaystyle n \times n } 行列 {\displaystyle A } を考えます.

{\displaystyle \;\;\; A =  \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} }

{\displaystyle A_{11} } が正則のとき, ({\displaystyle A_{11} } はフルランクなので) {\displaystyle \mathrm{rank} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \end{bmatrix} = \mathrm{rank} \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix} = r } が成り立ちます.実は逆も成り立ちます.以下の事実を証明なしで用います(Horn and Johnson(2013)には証明があります).

事実1.
{\displaystyle \mathrm{rank} \ A = \mathrm{rank} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \end{bmatrix} = \mathrm{rank} \begin{bmatrix} A_{11} \\ A_{21} \end{bmatrix} = r } のとき,{\displaystyle A_{11} } は正則である {\displaystyle \;\;\; } (0.7.6.1)


本記事の目的であるランクプリンシプルの定義は以下です.

定義.
{\displaystyle n \times n } 行列 {\displaystyle A \; (\mathrm{rank} \ A=r) } が正則な {\displaystyle r \times r } 主小行列(principal submatrix)(文献[2]にあります)をもつとき,{\displaystyle A } はランクプリンシプルである,という.


この定義に関連して,以下の事実が成り立ちます.(証明ではなく)具体例を用いて説明します.

事実2.
{\displaystyle \;\;\; \mathrm{rank} \ A = \mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \alpha,\varnothing^c \end{bmatrix} = 
\mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \varnothing^c, \alpha \end{bmatrix} =r \;\;\; } (0.7.6.3)


をみたすような添字集合 {\displaystyle \alpha \subset \{1,\ldots,n  \} } が存在するとき(すなわち {\displaystyle r } 個の線形独立な行が存在し,それと同じ添字集合についての列も線形独立のとき),{\displaystyle A } はランクプリンシプルとなり,{\displaystyle A \begin{bmatrix} \alpha,\alpha \end{bmatrix} } は正則である.


説明.
(0.7.6.3) {\displaystyle \Longrightarrow } (0.7.6.1)

が示せればよい.


{\displaystyle 5 \times 5 } 行列 {\displaystyle A } を以下とする.

{\displaystyle \;\;\; A =  \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{bmatrix} }



{\displaystyle \alpha = \{ 1,3,5 \} } の場合を考え,{\displaystyle 3 \times 3 } 行列 {\displaystyle A_{11} } を以下のようにおく.

{\displaystyle \;\;\; A \begin{bmatrix} \{1,3,5 \} , \{1,3,5 \} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{15} \\ a_{31} & a_{33} & a_{35} \\ a_{51} & a_{53} & a_{55} \end{bmatrix} = A_{11} }


第1,3,5行と第1,3,5列を取り出した小行列のランクについてそれぞれ以下が成り立つ(基本変形してもランクは変わらないことを用いている).

{\displaystyle \;\;\;  \mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \{1,3,5 \} ,\varnothing^c \end{bmatrix} = 
\mathrm{rank} \ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{bmatrix} }


{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \mathrm{rank} \ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{15} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{35} & a_{32} & a_{34} \\ a_{51} & a_{53} & a_{55} & a_{52} & a_{54} \end{bmatrix} }


{\displaystyle \;\;\;  \mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \varnothing^c, \{1,3,5 \} \end{bmatrix} = 
\mathrm{rank} \ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{15} \\ a_{21} & a_{23} & a_{25} \\ a_{31} & a_{33} & a_{35} \\ a_{41} & a_{43} & a_{45} \\ a_{51} & a_{53} & a_{55} \end{bmatrix} }


{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \mathrm{rank} \ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{15} \\ a_{31} & a_{33} & a_{35} \\ a_{51} & a_{53} & a_{55} \\ a_{21} & a_{23} & a_{25} \\ a_{41} & a_{43} & a_{45} \end{bmatrix} }


これらのことから,(0.7.6.3)が成り立つとき(0.7.6.1)が成り立つことが(この例について)確認できた.


次の事実も成り立ちます.

事実3.
エルミート行列はランクプリンシプルである.


証明.
{\displaystyle n \times n } エルミート行列 {\displaystyle A } はあらゆる添字集合 {\displaystyle \alpha \subset \{1,\ldots,n  \} } について {\displaystyle \mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \alpha,\varnothing^c \end{bmatrix} = \mathrm{rank} \ A \begin{bmatrix} \varnothing^c, \alpha \end{bmatrix} } が成り立つ.このことと事実2.を併せればよい.(証明終わり)


以上,行列のランクプリンシプルの定義をまとめました.


参考文献
[1] Horn, R.A., and Johnson, C.R. (2013), Matrix Analysis(Second Edition), Cambridge University Press.
[2] Wikipedia Matrix (mathematics) のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Submatrix