一般化逆行列の定義の意味について考える
勉強を進めていて,一般化逆行列(generalized inverse)というものを知りました.その定義の意味についてモヤモヤしてしまったので,調べてまとめることにしました.
問題を設定するため,いくつか準備をします.
以下の定義を文献[3]から引用します(記号を一部変更しています).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定義1. 行列を , 単位行列を とする.
・ をみたす 行列 が存在するとき, は左正則(left invertible)である,といい を左逆行列(left inverse)という.
・ をみたす 行列 が存在するとき, は右正則(right invertible)である,といい を右逆行列(right inverse)という.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
行列 に をみたす逆行列 が存在するとき, は正則である,といいます.
以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.文献[1][2]を参考にして一般化逆行列の定義の意味を考えていきます.
行列 についての連立一次方程式を考えます. は の列空間です.以下の は が解をもつための必要条件です(文献[5][6]にあります).
(1.0)
が正則,左正則,右正則のとき,この方程式の解を と表現することができます.またそれぞれの場合に以下が成り立ちます.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
これらの逆行列が存在しないとき,(1.0)の解を の形式で表現することができるでしょうか.このような 行列 が存在するとき以下が成り立ちます.
(1.4)
ここで とします. は の基底 と定数 を用いて線形結合 とかけます.すると以下が成り立ちます.
このことと の各列は と同様に の線形結合で表されることから以下を得ます.
(1.5)
この を一般化逆行列といいます.等価な二つの定義を以下に示します.Rao and Mitra(1972)から引用します(記法を若干変更しています).以上に考えてきたことのまとめになっています.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定義 2.1. 行列を , 行列を とする.方程式 が少なくとも一つの解をもつような任意の について が の解となるとき, は の一般化逆行列である,という.
定義 2.2. が成り立つとき, は の一般化逆行列である,という.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
上の定義から(なんとなく)わかるように,一般にある についての一般化逆行列はただ一つとは限りません.一般化逆行列が存在し のとき となりただ一つに決まります.(1.1)(1.2)(1.3)より, は一般化逆行列 の特別な場合であることがわかります.
以上,一般化逆行列の定義について考えてみました."一般化"という名称の意味がイメージできるようになったと思います.
参考文献
[1] Rao, C.R., and Mitra, S.K.(1972), Generalized inverse of a matrix and its applications, Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Volume 1: Theory of Statistics, University of California Press, Berkeley, Calif: 601-620.
[2] Wikipedia Generalized inverse のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse
[3] University of California, Berkeley Minseon Shin様のノート https://math.berkeley.edu/~shinms/SP14-54/left-right-invertible-matrices.pdf
[4] University of Puget Sound Ross MacAusland様のノート http://buzzard.ups.edu/courses/2014spring/420projects/math420-UPS-spring-2014-macausland-pseudo-inverse.pdf
[5] Massachusetts Institute of Technology Gilbert Strang先生のノート https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/ax-b-and-the-four-subspaces/column-space-and-nullspace/MIT18_06SCF11_Ses1.6sum.pdf
[6] Massachusetts Institute of Technology Gilbert Strang先生のノート https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/ax-b-and-the-four-subspaces/solving-ax-b-row-reduced-form-r/MIT18_06SCF11_Ses1.8sum.pdf
おまけ
[1] へのリンク https://pdfs.semanticscholar.org/bbcc/e916e55b28b283f37f67d36002f375cb9424.pdf