行列における単射，核(カーネル)が零ベクトルのみ，列フルランクは同値であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

線形写像が単射であるための必要十分条件は核(カーネル)が零ベクトルであることの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ

勉強を進めていて，行列の単射(injective)(one-to-one)，核(カーネル)(kernel)(零空間(nullspace))，列フルランク(full column rank)の関係についてとても重要に感じたので，証明しておくことにしました．

問題を設定するため，線形写像の定義は文献[2]を，線形独立の定義は文献[3]を，核(カーネル)(零空間)の定義は文献[4]を用います．単射の定義は冒頭の過去記事あるいは文献[5]にあります．列フルランクの定義を以下に示します．文献[6]にあります．

定義.
$m \times n$ 行列 $A$ とする．階数が列数に等しい，すなわち $\mathrm{rank}\ A = n$ のとき， $A$ は列フルランクであるという．

任意の $A$ について $\mathrm{rank}\ A \le m$ であるので，列フルランクならば縦長の行列あるいは正方行列です．

注意.
行列 $A: \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m, \; A : x \mapsto Ax$ は線形写像である．

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．文献[1]を参考にします．

事実.
行列における単射，核(カーネル)が零ベクトルのみ，列フルランクは同値である．

証明.
$m \times n$ 行列 $A$ の列ベクトルを $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ ， $x = [ x_1 \cdots x_n ]^T \in \mathbf{R}^n$ とする．

行列は線形写像であるので，冒頭の過去記事の結果より $A$ について以下が成り立つ．

$\;\;\;$ 単射 $\Leftrightarrow$ 核(カーネル)が零ベクトル $\{ 0 \}$

よって以下を示せばよい．

$\;\;\;$ 核(カーネル)が零ベクトル $\{ 0 \}$ $\Leftrightarrow$ 列フルランク

核(カーネル)が零ベクトル $\{ 0 \}$ であるとする．

$\;\;\; [ \{ 0 \} = ker(T) ]$
$\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow [ \{ 0 \} = \{ x \in \mathbf{R}^n : Ax=0 \} ]$
$\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow [ \{ 0 \} = \{ [ x_1 \ \cdots \ x_n ]^T \in \mathbf{R}^n : x_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = 0 \} ]$
$\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow [ x_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = 0 \; \Rightarrow \; x = 0 ]$

したがって $\{ \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n \}$ は線形独立であり， $A$ は列フルランクである．逆も成り立っていることがわかる．(証明終わり)