行列における全射，左零空間が零ベクトルのみ，行フルランクは同値であることを証明する

本記事は以下の過去記事の結果を用います．

行列における単射，核(カーネル)が零ベクトルのみ，列フルランクは同値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

勉強を進めていて，行列の全射(surjective)(onto)，左零空間(left nullspace)，行フルランク(full row rank)の関係についてとても重要に感じたので，証明しておくことにしました．冒頭の過去記事(行列における単射)では核(カーネル)という用語を用いていますが，本記事では同じものを零空間と呼ぶことにします．

全射の定義は文献[1]に，行空間と列空間の定義は文献[2]に，零空間と左零空間の定義は文献[3]にあります．記号を準備します．

$\;\;\; C(A) \;\;\;\;\;$ $A$ の列空間
$\;\;\; N(A^T) \;\;\;$ $A$ の左零空間

行フルランクの定義を以下に示します．文献[4]にあります．

定義.
$m \times n$ 行列 $A$ とする．階数が行数に等しい，すなわち $\mathrm{rank}\ A = m$ のとき， $A$ は行フルランクであるという．

任意の $A$ について $\mathrm{rank}\ A \le n$ であるので，行フルランクならば横長の行列あるいは正方行列です．

注意.
行列 $A \;\; : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m, \; A \;\; : x \mapsto Ax$ は線形写像である．
行列 $A^T: \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n, \; A^T : y \mapsto A^T y$ は線形写像である．

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．

事実.
行列における全射，左零ベクトルが零ベクトルのみ，行フルランクは同値である．

証明.
冒頭の過去記事(行列における単射)の結果を $A^T$ について適用すると，以下を得る．

$\;\;\; A^T$ の零空間が零ベクトルのみ $\Leftrightarrow$ $A^T$ は列フルランク

$A^T$ の零空間は $A$ の左零空間 $N(A^T)$ に等しく， $A^T$ の列フルランクは $A$ の行フルランクと同値である．したがって以下を得る．

$\;\;\; A$ の左零空間が零ベクトルのみ $\Leftrightarrow$ $A$ は行フルランク

あとは以下を示せばよい．

$\;\;\; A$ の左零空間が零ベクトルのみ $\Leftrightarrow$ $A$ は全射

$A$ の左零空間が零ベクトルのみ，すなわち $N(A^T) = \{ 0 \}$ であるとする．以下が成り立つ( $\oplus$ は直交直和)．

$\;\;\; \mathbf{R}^m = C(A) \oplus N(A^T) \;\;\; \because$ 冒頭の過去記事(4つの基本部分空間)の結果
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; = C(A) \oplus \{ 0 \} \;\;\;\;\;\;\;\; \because$ 仮定
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; = C(A)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ Ax \ : \ x \in \mathbf{R}^n \} \;\;\;\;\;\; \because$ 列空間 $C(A)$ の定義

これは $A : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m, \; A : x \mapsto Ax$ が全射であることを意味している．

逆に $A$ が全射であるとする． $C(A) = \mathbf{R}^m$ でなければならないから，同様の議論により $N(A^T) = \{ 0 \}$ である．(証明終わり)