ムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめる
勉強を進めていて,ムーア・ペンローズ逆行列(Moore-Penrose inverse)(擬似逆行列(pseudoinverse))について知りました.応用でよく使われているようなので,その定義,構成,一意性について文献[1]の4章をベースにしてまとめておくことにしました.
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記号を準備します.
の要素を要素にもつ 次元ベクトルの集合
の要素を要素にもつ 行列の集合
の要素を要素にもつ 行列で階数 となるものの集合
単位行列
行列 について です.この随伴行列(conjugate transpose)の計算ルールは文献[4]にあります.
逆行列(invertible matrix)の計算ルールは文献[5]にあります.
階数(rank)の計算ルールは文献[6]にあります.
以上の設定のもとで本記事の目的に進みます.
ムーア・ペンローズ逆行列は,一般化逆行列(generalized inverse)(以下の過去記事にあります)の特別な場合です.ある行列 に対する一般化逆行列はただ一つとは限りません.フルランク( )のとき一般化逆行列は でありただ一つに決まります.
一般化逆行列の定義の意味について考える - エンジニアを目指す浪人のブログ
以下の4つの方程式をみたす(ただ一つの) をムーア・ペンローズ逆行列といいます.一般化逆行列の定義(d.1)と追加の条件(d.2)(d.3)(d.4)からなることがわかります.
(d.1)
(d.2)
(d.3)
(d.4)
あとで示すように任意の について はただ一つに決まるので,(d.1)(d.2)(d.3)(d.4)における と の対称性より です.
とし,その階数分解((full) rank factorization)(以下の過去記事にあります)を とします.階数分解は必ず存在しますが,一般にただひとつには決まりません. が列フルランク()のとき ,行フルランク()のとき とすることができます.
行列の階数分解の存在と非一意性を証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ
以下の定理は,階数分解の結果を用いてムーア・ペンローズ逆行列 を構成できることを示してます.
定理 1.
の階数分解 について以下が成り立つ.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
注意.
(2)(4)は は の左逆行列, は の右逆行列であることを意味している.
証明.
が(d.1)(d.2)(d.3)(d.4)をみたしていることを示す.
が(d.1)(d.2)(d.3)(d.4)をみたしていることを示す.
が(d.1)(d.2)(d.3)(d.4)をみたしていることを示す.
の(d.3)
の(d.4)
以上より(1)(3)(5)は示せた.(2)(4)は明らかである.(証明終わり)
先ほどの過去記事(階数分解)にあるように,ある行列についての階数分解はただ一つではありません.しかしながら,以下の定理はムーアペンローズ逆行列はただ一つに決まることを示しています.
定理 2.
が階数分解のとき, となるような正則行列 が存在する.さらに以下が成り立つ.
証明.
仮定より以下がいえる.
定理1.(2)
定理1.(4)
これらを用いて以下を得る.
よって は正則行列である. とおく.
したがって であり,以下を得る.
最後に以下を示す.
定理1.(5)と は列フルランク
定理1.(1)
定理1.(5)と は行フルランク
定理1.(3)
(証明終わり)
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以上,ムーア・ペンローズ逆行列の定義,構成,一意性についてまとめました.
参考文献
[1] Piziak, R., and Odell, P.L.(1999), Full Rank Factorization of Matrices, Mathematics Magazine, Vol.72, No.3, pp.193-201.
[2] 早稲田大学 杉本憲治郎先生のノート https://www.slideshare.net/wosugi/ss-79624897
[3] Wikipedia Moore-Penrose inverse のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_inverse
[4] Wikipedia Conjugate transpose のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose
[5] Wikipedia Invertible matrix のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix
[6] Wikipedia Rank (linear algebra) のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra)
おまけ
[1] へのリンク https://www.researchgate.net/publication/265958585_Full_Rank_Factorization_of_Matrice