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情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

シリンダー集合について考える

数学 確率論

確率解析(連続確率過程)を勉強していると序盤の設定のところでシリンダー集合(柱状集合)が突然現れ，離散確率過程とのギャップにモヤモヤすることがあったので，シリンダー集合について調べることにしました．

{\displaystyle [0,1] } 上の連続関数の集合 {\displaystyle \mathcal{S}=C([0,1]) } を考え，距離 {\displaystyle d(f,g)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)|} を導入します．すると {\displaystyle (\mathcal{S},d)} は完備可分な距離空間となります．

シリンダー集合(cylinder set / cylindrical subset)とは以下のような形の集合のことです．
{\displaystyle \{ f \in \mathcal{S}:(f(t_1),\cdots,f(t_n))\in B_1 \times \cdots \times B_n \} }
{\displaystyle  B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\; i \in \{ 1,\cdots,n \}, \; 1 \le n \lt \infty, \; 0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_n \le 1, \; t_0=0}

すなわち，{\displaystyle \mathcal{S} } の要素の中で，(有限個の)各時点における値が実数上のボレル集合体 {\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}) } の要素となる関数の集合を意味しています．じつはこのシリンダー集合により生成される {\displaystyle \sigma} -加法族は， {\displaystyle \mathcal{S} } 上のボレル集合体 {\displaystyle \mathcal{B}(\mathcal{C}) } なのです(参考記事)！その証明を以下に示します．

証明.
{\displaystyle \pi_t(f)=f(t) } となるような写像(natural projection) {\displaystyle \pi_t : \mathcal{S} \to \mathbb{R} } を導入する．以下の形の集合からなる集合族 {\displaystyle \mathcal{C} } を考える(先ほどのシリンダー集合です)．
{\displaystyle \{ f \in \mathcal{S}:(f(t_1),\cdots,f(t_n))\in B_1 \times \cdots \times B_n \} = \bigcap_{i=1}^n \pi_{t_i}^{-1}(B_i)}
{\displaystyle  B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\; i \in \{ 1,\cdots,n \}, \; 1 \le n \lt \infty, \; 0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_n \le 1, \; t_0=0}

はじめに {\displaystyle \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{B}(\mathcal{S}) } を示す．{\displaystyle t \in [ 0,1 ], \; (a,b) \subset \mathbb{R} } ならば {\displaystyle  \pi_{t_i}^{-1}  ( \mbox{} ( a,b ) \mbox{} ) = \{ f \in \mathcal{S}:f(t) \in (a,b) \} } は {\displaystyle \mathcal{S} } 上の開集合であるので {\displaystyle  \pi_{t}^{-1}(B) \in \mathcal{B}(\mathcal{S}) \; {\rm for \; all} \; t \in [ 0,1 ],\; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) } である．{\displaystyle \mathcal{C} } の要素はそのような集合の有限加算共通部分であるので，{\displaystyle \mathcal{C} \subset \mathcal{B}(\mathcal{S})  } である．よって {\displaystyle \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{B}(\mathcal{S}) } を得る．

つぎに {\displaystyle \mathcal{B}(\mathcal{S}) \subset \sigma(\mathcal{C}) } を示す．{\displaystyle \mathcal{S} } の可分性と過去記事の補題1.1より，{\displaystyle \mathcal{S} } 上の任意の開球が {\displaystyle \sigma(\mathcal{C}) } の要素であることを示せばよい．{\displaystyle \mathcal{S} } 上の任意の開球 {\displaystyle B(f,\epsilon) } は以下で表される．
{\displaystyle B(f,\epsilon)= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{t \in \mathbb{Q} \cap [ 0,1 ]} \pi_t^{-1}(\mbox{}( f(t)-(1-2^{-n})\epsilon,\; f(t)+(1-2^{-n})\epsilon)\mbox{}) }
このように表現できる理由を以下に示す．全ての {\displaystyle t \in \mathbb{Q} \cap [ 0,1 ] } について {\displaystyle |f(t)-g(t)| \lt (1-2^{-n})\epsilon } となるような {\displaystyle n \in \mathbb{N} } が存在するならば，{\displaystyle f,g } の連続性と {\displaystyle \mathbb{Q} \cap [ 0,1 ] } の稠密性より {\displaystyle d(f,g) = \sup_{t \in \mathbb{Q} \cap [0,1]} |f(t)-g(t)| \lt (1-2^{-n})\epsilon \lt \epsilon, } すなわち {\displaystyle g \in B(f,\epsilon) } が成り立つ．逆に，{\displaystyle g \in B(f,\epsilon) } が成り立つならば，すなわち {\displaystyle d(f,g) \lt (1-2^{-n})\epsilon } となるような {\displaystyle n \in \mathbb{N} } が存在するならば，全ての {\displaystyle t \in \mathbb{Q} \cap [ 0,1 ] } について {\displaystyle |f(t)-g(t)| \lt (1-2^{-n})\epsilon } が成り立つ．
したがって，{\displaystyle B(f,\epsilon) } は {\displaystyle \mathcal{C} } の要素の加算共通部分の加算和で表されるので {\displaystyle B(f,\epsilon) \in \sigma(\mathcal{C}) } を得る．(証明終わり)


以上，シリンダー集合について考えてみました．シリンダー集合の定義と存在意義がすこし明らかになってきたと思います．



参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/1236489/generating-the-borel-sigma-algebra-on-c0-1