エルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明をメモする

応用上よく用いられると思われる，線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました．

事実.
エルミート行列 $A \ (= A^* = (\bar{A})^T)$ のすべての固有値は実数である．

証明.
$A$ のある固有値を $\lambda$ ，それに対する固有ベクトルを $x$ とすると，

$x^* A x = x^* \lambda x = \lambda x^* x$

である．一方， $A = A^*$ なので，

$x^* A x = x^* A^* x = (\bar{x})^T (\bar{A})^T x = (\bar{A} \bar{x} )^T x = ( \overline{ A x } )^T x = (Ax)^* x = (\lambda x)^* x = \bar{\lambda} x^* x$

である．したがって， $\lambda = \bar{\lambda}$ でなければならないから， $\lambda$ は実数である．固有値 $\lambda$ は任意にとれるので，事実は示せた．(証明終わり)