行列のランク落ち，列フルランク，行フルランク，フルランクそれぞれのときの4つの基本部分空間を図示する

本記事は以下の過去記事の結果を用います．

冒頭の過去記事を書くことが，行列のランク落ち(rank deficient)，列フルランク(full column rank)，行フルランク(full row rank)，フルランク(full rank)とは何を意味するか，行列は縦長か横長か正方か，そのとき零空間(nullspace)や左零空間(left nullspace)はどうなっているか，あるいは単射(injective)(one-to-one)や全射(surjective)(onto)との関係はどうなっているか，を考える契機になりました．それらを非常に重要に感じたので，考えた内容をまとめた図を描いておくことにしました．

$m \times n$ 行列 $A, \ \mathrm{rank} A = r$ とします．記号を準備します．

$\;\;\; C(A^T) \;\;\;$ $A$ の行空間
$\;\;\; C(A) \;\;\;\;\;$ $A$ の列空間
$\;\;\; N(A) \;\;\;\;\;$ $A$ の零空間
$\;\;\; N(A^T) \;\;\;$ $A$ の左零空間

以下の事実が成り立ちます．冒頭の過去記事(4つの基本部分空間)にあります．

事実.
$\;\;\; \mathbf{R}^n = C(A^T) \oplus C(A^T)^{\perp}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; = C(A^T) \oplus N(A)$

$\;\;\; \mathbf{R}^m = C(A) \oplus C(A) ^{\perp}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; = C(A) \oplus N(A^T)$

注意.
行列 $A \;\; : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m, \; A \;\; : x \mapsto Ax$ は線形写像である．
行列 $A^T: \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n, \; A^T : y \mapsto A^T y$ は線形写像である．