対称行列のシューア補行列は対称行列であることを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

シューア補行列の定義とその背景，逆行列補題との関係をまとめる - エンジニアを目指す浪人のブログ

対称行列のシューア補行列(Schur complement)は対称行列であることを証明しメモしておくことにしました．

記号を準備します．

$\;\;\; \mathbb{R}^{m \times n} \;\;\;\;$ $\mathbb{R}$ の要素を要素にもつ $m \times n$ 行列の集合

転置行列についての以下の性質は文献[1]にあります．

(t.1) $\;\;\; \left( A_1 A_2 A_3 \right)^T = \left( A_3 \right)^T \left( A_2 \right)^T \left( A_1 \right)^T$

対称行列についての以下の性質は文献[2]にあります．

(s.1) $\;\;$ 対称行列 $A$ が正則 $\; \Longrightarrow \; \left[ A = A^T \;\; \Leftrightarrow \;\; A^{-1} = \left( A^{-1} \right)^T \right]$

以下の対称行列 $M \ (= M^T )$ を考えます．

$\;\;\; M = \begin{bmatrix} A & B \\ B^T & D \end{bmatrix}, \;\;\;\;\;\; A \in \mathbb{R}^{p \times p}, \ B \in \mathbb{R}^{p \times q}, \ B^T \in \mathbb{R}^{q \times p}, \ D \in \mathbb{R}^{q \times q}$

$\;\;\; A = A^T$
$\;\;\; D = D^T$

冒頭の過去記事定義1.定義2.のように $M$ における $D$ のシューア補行列と $M$ における $A$ のシューア補行列を定義します．

$\;\;\; S_D = A - B D^{-1} B^T$

$\;\;\; S_A = D - B^T A^{-1} B$

以上の設定のもとで本記事の目的に進みます．以下の事実が成り立ちます．

事実.

対称行列 $M \ (= M^T )$ のシューア補行列 $S_D, S_A$ は対称行列である．

証明.

$\;\;\; \left( S_D \right)^T = \left( A - B D^{-1} B^T \right)^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^T - \left( B D^{-1} B^T \right)^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^T - ( B^T )^T ( D^{-1} )^T B^T \;\;\; \because$ (t.1)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^T - B ( D^{-1} )^T B^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^T - B D^{-1} B^T \;\;\;\;\;\; \because$ (s.1)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A - B D^{-1} B^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = S_D$

$\;\;\; \left( S_A \right)^T = \left( D - B^T A^{-1} B \right)^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^T - \left( B^T A^{-1} B \right)^T$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^T - B ^T ( A^{-1} )^T ( B^T )^T \;\;\; \because$ (t.1)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^T - B^T ( A^{-1} )^T B$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^T - B^T A^{-1} B \;\;\;\;\;\; \because$ (s.1)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D - B^T A^{-1} B$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = S_A$