正則行列の固有値は零でないことの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ

応用上よく用いられると思われる，線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました．文献[1]をほぼ引用したものです．固有値(eigenvalues)，固有ベクトル(eigenvectors)の定義は文献[2]にあります．

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事実.

正則行列の固有値は零でない．

証明.

正則行列 $A$ を考える． $A$ の任意の固有値とそれに対応する固有ベクトルを $\lambda, \ v \ ( \neq 0 )$ とすると $A v = \lambda v$ である．

$\lambda = 0$ を仮定すると以下を得る．

$\;\;\;\;\;\; A v = \lambda v$
$\;\;\; \Rightarrow A^{-1} A v = A^{-1} ( \lambda v ) \;\;\; \because A$ は正則行列
$\;\;\; \Leftrightarrow v = \lambda A^{-1} v$
$\;\;\; \Rightarrow v = 0 \;\;\; \because \lambda = 0$

これは固有ベクトルの定義 $v \neq 0$ に矛盾する．したがって $\lambda \neq 0$ である．(証明終わり)

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以上，正則行列の固有値は零でないことの証明をメモしました．

参考文献
[1] Mathematics Stack Exchange https://math.stackexchange.com/questions/755780/is-a-matrix-a-with-an-eigenvalue-of-0-invertible
[2] Wikipedia Eigenvalues and eigenvectors のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors