正定値行列の逆行列は正定値であることの証明をメモする

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

応用上よく用いられると思われる，線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました．文献[1]を参考にしています．正定値の定義は冒頭の過去記事(分散共分散行列)定義 4.1.11.にあります．

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事実.

正定値行列の逆行列は正定値である．

証明.

$n \times n$ 正定値行列 $A$ を考え， $i=1,\ldots,n$ とする． $A$ の固有値を $\lambda_{i}$ とすると，冒頭の過去記事(行列が半正定値)事実.より $\lambda_{i} \gt 0$ である．

冒頭の過去記事(半正定値行列)事実1.より逆行列 $A^{-1}$ が存在し，冒頭の過去記事(逆行列の固有値)事実.より $A^{-1}$ の固有値は $( 1 / \lambda_{i})$ である．

$\lambda_{i} \gt 0$ なので $( 1/ \lambda_{i} ) \gt 0$ であり，再び冒頭の過去記事(行列が半正定値)事実.より $A^{-1}$ が正定値であることを得る．(証明終わり)

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以上，正定値行列の逆行列は正定値であることの証明をメモしました．

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