n次元ユークリッド空間上の関数が凸であるための必要十分条件は定義域内の任意の直線上で凸であることの証明をメモする

応用上よく使われると思われる，一つの変数についての凸性を確認することで関数の凸性を判定できる便利なツールといえる定理を知り，重要に感じたのでその証明を調べてメモしておくことにしました．文献[1]をほぼ引用しています．

凹関数の定義は文献[2]にあります．

本記事の目的に進みます．以下の定理が成り立ちます． $\mathrm{dom}$ は関数の定義域です．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定理3 (凸関数の直線への制限)

以下が成り立つ．

$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \;$ は凸である
$\Leftrightarrow$
$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \;\;\; g : t \mapsto f( x + tv ), \; \ \mathrm{dom} \ g = \{ t : x + t v \in \mathrm{dom} \ f \}$ は任意の $x \in \mathbb{dom} \ f, \ v \in \mathbb{R}^n$ について凸である

証明.

$f$ は凸であるとする． $\forall t_1,t_2 \in \mathrm{dom} \ g, \ \forall \alpha \in [ 0,1 ]$ について以下が成り立つのでこのとき $g$ は凸である．

$g( \alpha t_1 + ( 1 - \alpha )t_2 ) = f \left( x + ( \alpha t_1 + ( 1 - \alpha )t_2 ) v \right)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( x + \alpha t_1 v + ( 1 - \alpha )t_2 v \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( x + \alpha t_1 v + ( 1 - \alpha )t_2 v + \alpha x - \alpha x \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( \alpha x + \alpha t_1 v + x - \alpha x + ( 1 - \alpha )t_2 v \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( \alpha x + \alpha t_1 v + ( 1 - \alpha ) x + ( 1 - \alpha )t_2 v \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( \alpha ( x + t_1 v ) + ( 1 - \alpha ) ( x + t_2 v ) \right)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le \alpha f \left( x + t_1 v \right) + ( 1 - \alpha ) f \left( x + t_2 v \right) \;\;\;\;\;\; \because \; f$ は凸

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \alpha g ( t_1 ) + ( 1 - \alpha ) g ( t_2 )$

逆を示す． $g$ は凸であるとする．
$x,y \in \mathrm{dom} \ f$ として $v = y - x$ とおき， $g(t) = f \left( x + t( y - x ) \right)$ を考えて以下を得る．

$\;\;\; g(0) = f(x)$
$\;\;\; g(1) = f(y)$

$\;\;\; g( 1 - \alpha ) = f \left( x + ( 1 - \alpha )( y - x ) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( x + y - x - \alpha y + \alpha x \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( y - \alpha y + \alpha x \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f \left( \alpha x + ( 1 - \alpha ) y \right)$

これらを用いると以下が成り立つのでこのとき $f$ は凸である．

$\;\;\; f \left( \alpha x + ( 1 - \alpha ) y \right) = g(1-\alpha)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = g \left( \alpha \cdot 0 + ( 1-\alpha ) \cdot 1 \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le \alpha g( 0 ) + ( 1-\alpha ) g( 1 ) \;\;\;\;\; \because \; g$ は凸