二次ノルムの定義をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

行列式の対数はその行列の凹関数であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

勉強を進めていて，二次ノルム(quadratic norm)というものを知りました．あまり有名でない概念に感じたので，その定義をメモしておくことにしました．Boyd and Vandenberghe(2004)の付録A.1(の一部)をベースにしています．

問題を設定するため，いくつか準備をします．

(ユークリッド)ノルムの定義は文献[2]にあります．
平方根行列の定義は冒頭の過去記事(行列式の対数)事実0.4.にあります．

以上の設定の下で，本記事の目的に進みます．

二次ノルムの定義を示します．

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定義.
$n \times n$ 行列 $P$ は対称行列で正定値とする．以下を $P$ -二次ノルムという．

$\;\;\; \left\| x \right\|_P = (x^T P x)^{1/2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left\| P^{1/2} x \right\|_2$

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二次ノルムがノルムの性質，すなわち冒頭の過去記事(ノルムの連続性)2.2-1 Definition (Normed space, Banach space).(N1)～(N4)をみたし，ノルムであることを確認しておきます． $\left\| \cdot \right\|_2$ がノルムであることを利用します．

(N1) 明らか．
(N2) 明らか． $P^{1/2}$ は正定値なので $P^{1/2} \neq 0$ であることを用いる．
(N3)
$\;\;\; \left\| \alpha x \right\|_P = \left\| P^{1/2} \alpha x \right\|_2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = | \alpha | \left\| P^{1/2} x \right\|_2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = | \alpha | \left\| x \right\|_P$

(N4)
$\;\;\; \left\| x + y \right\|_P = \left\| P^{1/2} (x + y) \right\|_2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left\| P^{1/2} x + P^{1/2} y \right\|_2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le \left\| P^{1/2} x \right\|_2 + \left\| P^{1/2} y \right\|_2$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left\| x \right\|_P + \left\| y \right\|_P$

以下の事実を示します．

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事実.
二次ノルムの意味での単位球は楕円である．

証明.

任意の $x \in \mathbb{R}^n$ について以下が成り立つ．

$\;\;\; \{ x \ | \ \left\| x \right\|_P \le 1 \} = \{ x \ | \ \left\| P^{1/2} x \right\|_2 \le 1 \}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \ | \ \left\| P^{1/2} x \right\|_2^2 \le 1 \}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \ | \ ( P^{1/2} x )^T ( P^{1/2} x ) \le 1 \}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \ | \ x^T (P^{1/2})^T P^{1/2} x \le 1 \}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \ | \ x^T P^{1/2} P^{1/2} x \le 1 \}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \ | \ x^T P x \le 1 \}$

(証明終わり)
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以上，二次ノルムの定義をメモしました．

参考文献
[1] Boyd, S., and Vandenberghe, L. (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press.
[2] Wikipedia Norm (mathematics)のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)