ノルムの連続性を証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

関数解析の勉強をしていて，教科書のノルムの連続性についての記述が証明の方向性を示すのみだったので，証明を完成させることにしました．

問題を設定するため，以下の定義をしておきます．Kreyszig(1989)から引用します．

2.2-1 Definition (Normed space, Banach space). A normed space $X$ is a vector space with a norm defined on it. A Banach space is a complete normed space (complete in the metric defined by the norm). Here a norm on a (real or complex) vector space $X$ is a real-valued function on $X$ whose value at an $x \in X$ is denoted by
                    $\left\| x \right\|$
and which has the properties
(N1)                 $\left\| x \right\| \ge 0$
(N2)                 $\left\| x \right\| = 0 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; x = 0$
(N3)                 $\left\| \alpha x \right\| = |\alpha| \; \left\| x \right\|$
(N4)                 $\left\| x + y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|$          (Triangle inequality)
here $x$ and $y$ are arbitrary vectors in $X$ and $\alpha$ is any scalar.
A norm on $X$ defines a metric $d$ on $X$ which is given by
(1)                  $d(x,y) = \left\| x-y \right\| \;\;\;\;\;\; (x,y \in X)$
and is called the metric induced by the norm. The normed space just defined is denoted by $(X,\left\| \cdot \right\|)$ or simply by $X$ . ▮

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．Kreyszig(1989)に記述されている方向性(証明中の(i)を使う)に従い，以下の事実を証明します．

事実.
ノルムは連続である，すなわち，
   $x \mapsto \left\| x \right\|, \; (X,\left\| \cdot \right\|) \to \mathbf{R}$
は連続写像である．

証明.
(N4)で $x=x-y$ とすると $\left\| x \right\| \le \left\| x-y \right\| + \left\| y \right\|$ であるので以下を得る．
    ${\displaystyle　- \left\| x-y \right\| \le \left\| y \right\| - \left\| x \right\| }$
(N4)で $y=y-x$ とすると $\left\| y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y-x \right\|$ であるので以下を得る．
    $\left\| y \right\| - \left\| x \right\| \le \left\| y-x \right\|$
よって二つを合わせて以下を得る．
    $\Bigl| \left\| y \right\| - \left\| x \right\| \Bigr| \le \left\| y-x \right\|$               (i)
次に，ノルム $\left\| \cdot \right\|$ が連続であることを示す．そのためには，
「任意の $\epsilon \gt 0$ に対して，ある $\delta \gt 0$ が存在して，
任意の $a \in X$ に対して， ${\displaystyle　\left\| x - a \right\| \lt \delta \;\;\; \Longrightarrow \;\;\; \Bigl| \left\| x \right\| - \left\| a \right\| \Bigr| \lt \epsilon }$               (ii)
が成り立つ」ことを示せばよい．
$a \in X$ を一つ固定する．(i)より， $\Bigl| \left\| x \right\| - \left\| a \right\| \Bigr| \le \left\| x-a \right\|$ であり，したがって，ある $\delta$ について
    ${\displaystyle　\left\| x -a \right\| \lt \delta \;\;\; \Longrightarrow \;\;\; \Bigl| \left\| x \right\| - \left\| a \right\| \Bigr| \lt \delta }$
が成り立つので，任意の $\epsilon$ について $\delta =\epsilon$ ととれば， $a \in X$ は任意にとれるので，(ii)が成り立つことがわかる．(証明終わり)

以上，ノルムが連続であることを証明しました．ノルムの性質(N4)を用いていることがわかります．

参考文献
[1] Kreyszig, E. (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.