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対称行列を係数行列とする連立一次方程式が解をもつための必要十分条件は定数ベクトルが係数行列の零空間の要素と直交することであることを証明する

数学 線形代数

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

行列のランク落ち，列フルランク，行フルランク，フルランクそれぞれのときの4つの基本部分空間を図示する - エンジニアを目指す浪人のブログ

ムーア・ペンローズ逆行列による連立一次方程式の解表現について考える - エンジニアを目指す浪人のブログ


勉強を進めていて，対称行列を係数行列とする連立一次方程式の定数ベクトルの性質について面白く感じたので，証明をメモしておくことにしました．


問題を設定するため，いくつか準備をします．

{\displaystyle n \times n } 行列 {\displaystyle A, \ \mathrm{rank} A = r } とします．記号を準備します．

{\displaystyle \;\;\; C(A^T) \;\;\; } {\displaystyle A } の行空間
{\displaystyle \;\;\; C(A) \;\;\;\;\; } {\displaystyle A } の列空間
{\displaystyle \;\;\; N(A) \;\;\;\;\; } {\displaystyle A } の零空間
{\displaystyle \;\;\; N(A^T) \;\;\; } {\displaystyle A } の左零空間


以上の設定の下で，本記事の目的に進みます．

冒頭の過去記事(行列のランク落ち)にあるように，線形代数の4つの基本部分空間の性質より以下が成り立ちます．

(0.1){\displaystyle \;\;\; x \perp y, \;\;\; \forall x \in C(A), \;\; \forall y \in N(A^T) }

(0.2){\displaystyle \;\;\; x \perp y, \;\;\; \forall x \in C(A^T), \; \forall y \in N(A) }


{\displaystyle A } が対称行列のとき，以下が成り立ちます．

(0.3){\displaystyle \;\;\; C(A^T) = C(A) }

(0.4){\displaystyle \;\;\; N(A) = N(A^T) }


以下の事実を示します． {\displaystyle \langle \cdot , \cdot \rangle } は通常の内積です．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
事実.

{\displaystyle A } は対称行列とし、以下の連立一次方程式を考える．

(1.1){\displaystyle \;\;\; Ax = b }

この連立一次方程式が解をもつための必要十分条件は，以下が成り立つことである．

{\displaystyle \;\;\; b \in C(A) }

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \ b \perp w, \; \forall w \in N(A) }

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \ 0 = \langle b , w \rangle }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = b^T w }


証明.

{\displaystyle A } は対称行列なので以下が成り立つ．

(1.2) {\displaystyle \;\;\; N(A) = N(A^T) }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \ x \perp y, \;\;\; \forall x \in C(A), \;\; \forall y \in N(A^T) = N(A) \;\;\; \because } (0.1)

冒頭の過去記事(ムーア・ペンローズ逆行列による連立一次方程式)定理 6.2 (存在).にあるように，連立一次方程式(1.1)が解をもつための必要十分条件は，以下が成り立つことである．

(1.3) {\displaystyle \;\;\; b \in C(A) }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \ b \perp y, \;\;\; \forall y \in N(A^T) \;\;\; \because } (0.1)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \ b \perp y, \;\;\; \forall y \in N(A) \;\;\;\; \because } (1.2)

(証明終わり)
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


以上，対称行列を係数行列とする連立一次方程式が解をもつための必要十分条件は定数ベクトルが係数行列の零空間の要素と直交することであることを証明しました．



参考文献
[1] Boyd, S., and Vandenberghe, L. (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press.
[2] Massachusetts Institute of Technology Gilbert Strang先生のノート http://web.mit.edu/18.06/www/Fall07/pset5-soln.pdf