線形写像が単射であるための必要十分条件は核(カーネル)が零ベクトルであることの証明をメモする

勉強を進めていて，線形写像の核(カーネル)と単射との関係について重要に感じたので，その証明を調べてメモすることにしました．

問題を設定するため，線形写像の定義は文献[2]を，核(カーネル)の定義は文献[3]を用います．
単射の定義を示します．文献[4]にあります．

定義.
以下(のどちらか)が成り立つとき，関数 $f: X \to Y$ は単射であるという．

$\forall x,x' \in X \; [ x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x') ]$
$\forall x,x' \in X \; [ f(x) = f(x') \Rightarrow x=x' ]$

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．文献[1]をベースにしてまとめます．

事実.
線形写像が単射であるための必要十分条件は核(カーネル)が零ベクトル $\{ 0 \}$ であることである．

証明.

線形写像 $T:X \to Y$ が単射であるとする．任意の $v \in ker(T) = \{ x \in X : T(x)=0 \}$ について以下が成り立つので， $v =0$ である．

$\;\;\; T(v)=0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \because \; v \in ker(T)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 0 T(v)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =T(0) \;\;\;\;\; \because \;$ 線形写像の定義

逆に， $ker(T) = \{ 0 \}$ であるとする． $T(x)=T(x')$ のとき，

$\;\;\; 0 = T(x)-T(x') \;\;\;\;\;\;\; \because \;$ 線形写像の定義
$\;\;\;\;\;\; = T(x-x') \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \because \;$ 線形写像の定義

が成り立つので $x-x' \in ker(T)$ である． $ker(T) = \{ 0 \}$ より $x-x' =0$ よって $x=x'$ であり， $T$ は単射である． (証明終わり)