いくつかの行列の公式を証明するその2
応用上よく使われるいくつかの行列の公式を証明しておくことにしました.
ベクトルと(正方)行列を準備します.
本記事の目的に進みます.行列のトレースや微分についての以下の公式を証明します.
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
事実1.
が同じサイズの正方行列のとき以下が成り立つ.
(1.1)
(1.2)
事実2.
(2.1)
(2.2)
事実3.
(3.1)
(3.2)
事実1.の証明.
(1.1)を示す.
文献[2] (※)
(※)の逆
(1.2)を示す.
(1.1)で とすると を得る. とすると を得る.
(証明終わり)
事実2.の証明.
(2.1)を示す.
(2.2)を示す.
(2.1)
(証明終わり)
事実3.の証明.
(3.1)を示す.
(※)
(※※)
(1.1)
(※※)
(3.2)を示す.
(2.2)
(3.1)
(証明終わり)
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
以上,いくつかの行列の公式を証明しました.
参考文献
[1] Petersen, K.B., and Pedersen, M.S., The Matrix Cookbook https://www.math.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf
[2] Wikipedia Matrix multiplication のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication
[3] Zhanwen Huang様の(University of Minnesota在籍時の)ノート http://www.d.umn.edu/~jgreene/masters_reports/Zhanwen%20Huang_s%20Thesis.pdf
[4] Cross Validated https://stats.stackexchange.com/questions/239373/proving-that-xtax-trxxta
[5] University of California, Berkeley Michael I. Jordan先生のノート https://people.eecs.berkeley.edu/~jordan/courses/260-spring10/other-readings/chapter13.pdf