有限次元ベクトル空間の双対空間の基底の構成をまとめる

関数解析を勉強していて，有限次元ベクトル空間の双対空間(dual space)の基底(basis)(双対基底(dual basis))の構成についてモヤモヤしてしまったので，メモしておくことにしました．Kreyszig(1989)のsection2.9をベースにしてまとめます．

問題を設定するため，いくつか準備をします．

線形汎関数の定義は文献[3]にあります．
双対空間の定義は文献[4]にあります．
クロネッカーのデルタの定義は文献[5]にあります．

本記事の目的に進みます．

有限次元ベクトル空間 $X$ の基底 $E = \{ e_1,\cdots,e_n \}$ とします． $\mathrm{dim} \ X = n$ です． $X$ 上のあらゆる線形汎関数 $f$ とあらゆる $x = \sum \xi_j e_j \in X$ について以下が成り立ちます． $f$ は $\alpha_j, \ j=1,\ldots,n$ により一意に決定されることがわかります．

(5a) $\;\;\; f \left( x \right) = f \left( \sum_{j=1}^n \xi_j e_j \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n f \left( \xi_j e_j \right) \;\;\; \because \; f$ は線形汎関数
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n \xi_j f \left( e_j \right) \;\;\; \because \; f$ は線形汎関数
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \xi_1 f \left( e_1 \right) + \cdots + \xi_n f \left( e_n \right)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \xi_1 \;\; \alpha_1 \;\; + \cdots + \xi_n \;\; \alpha_n \;\;\;\;\;\; \because$ (5b)

(5b) $\;\;\; \alpha_j = f \left( e_j \right) \;\;\;\;\;\; j=1,\ldots, n$

逆に言うと， $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ のあらゆる組は $X$ 上の線形汎関数 $f$ を(5a)(5b)により決定します．特に， $\begin{bmatrix} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}$ の以下の $n$ 通りの組を考えます．

$\;\;\;\;\;\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$\;\;\;\;\;\; \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots$
$\;\;\;\;\;\; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(5a)(5b)よりこれらは $n$ 個の線形汎関数(の値 $\xi_1,\ldots,\xi_n$ )を与えます．それぞれ以下の線形汎関数となります． $\delta_{\cdot \cdot}$ はクロネッカーのデルタです．

(6) $\;\;\; f_k \left( e_j \right) = \delta_{jk} \;\;\; \left( j \neq k \; \rightarrow 0, \; j = k \; \rightarrow 1 \right), \;\;\; k=1,\ldots,n$

このように構成する $\{ f_1,\cdots,f_n \}$ は $X$ の双対空間 $X^*$ の基底になっており， $X$ の基底 $\{ e_1,\cdots,e_n \}$ の双対基底といいます．そのことを示す以下の定理が成り立ちます．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.9-1 定理 ( $X^*$ の次元)

有限次元ベクトル空間 $X$ の基底を $E = \{ e_1,\cdots,e_n \}$ とする．(6)により与えられる線形汎関数の組 $F = \{ f_1,\cdots,f_n \}$ は $X$ の双対空間 $X^*$ の基底であり， $\mathrm{dim} \ X = \mathrm{dim} \ X^* = n$ である．

証明.

以下が成り立つので $F$ は線形独立である．
　　
(7) $\;\;\; \sum_{k=1}^n \beta_k f_k \left( x \right) = 0$

$\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \sum_{k=1}^n \beta_k f_k \left( e_j \right) = 0, \;\;\; j = 1,\ldots,n \;\;\;\;\;\; \because \; x = e_j$ とおく
$\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \sum_{k=1}^n \beta_k \delta_{jk} = 0, \;\;\;\;\;\; j = 1,\ldots,n \;\;\;\;\;\;\;\; \because$ (6)
$\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\; \beta_j \delta_{jj} = 0, \;\;\;\;\;\; j = 1,\ldots,n$
$\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\; \beta_j \;\;\;\; = 0, \;\;\;\;\;\; j = 1,\ldots,n$

$\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\; \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_n = 0$

あらゆる $f \in X^*$ は $F$ の要素の線形結合であることを示す．

$\;\;\; f \left( x \right) = \sum_{j=1}^n \;\;\;\; \xi_j \;\; \alpha_j \;\;\;\;\;\; \because$ (5a)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n \xi_j f_j \left( e_j \right) \alpha_j \;\;\; \because$ (6)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n \left[ \xi_1 f_j \left( e_1 \right) + \cdots + \xi_n f_j \left( e_n \right) \right] \alpha_j \;\;\; \because$ (6)
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n \left[ f_j \left( \xi_1 e_1 \right) + \cdots + f_j \left( \xi_n e_n \right) \right] \alpha_j \;\;\; \because \; f_\cdot$ は線形汎関数
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n f_j \left( \xi_1 e_1 + \cdots + \xi_n e_n \right) \alpha_j \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \because \; f_\cdot$ は線形汎関数
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n f_j \left( x \right) \alpha_j$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sum_{j=1}^n \alpha_j f_j \left( x \right)$