エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

シューア補行列の定義とその背景，逆行列補題との関係をまとめる

数学 線形代数

勉強を進めていて，シューア補行列(Schur complement)について知りました．定義は難しくないのですがその背景についてモヤモヤしてしまったので，文献[1]の1章をベースにしてまとめておくことにしました．逆行列補題(matrix inversion lemma (Woodbury matrix identity))との関係も扱います．


記号を準備します．

{\displaystyle \;\;\; \mathbb{R}^{m \times n} \;\;\;\; } {\displaystyle \mathbb{R} } の要素を要素にもつ {\displaystyle m \times n } 行列の集合


以下の正方行列 {\displaystyle M } を考えます．

{\displaystyle \;\;\; M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}, \;\;\;\;\;\; A \in \mathbb{R}^{p \times p}, \ B \in \mathbb{R}^{p \times q}, \ C \in \mathbb{R}^{q \times p}, \ D \in \mathbb{R}^{q \times q} }



以上の設定のもとで本記事の目的に進みます．シューア補行列を定義します．{\displaystyle D,A } が正則であることが必要です．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定義1.

{\displaystyle S_D = A - B D^{-1} C } を {\displaystyle M } における {\displaystyle D } のシューア補行列(Schur complement of {\displaystyle D } in {\displaystyle M } )という．

定義2.

{\displaystyle S_A = D - C A^{-1} B } を {\displaystyle M } における {\displaystyle A } のシューア補行列(Schur complement of {\displaystyle A } in {\displaystyle M } )という．
'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


以下の事実が成り立ちます．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
事実1.

行列 {\displaystyle D } が正則のとき，{\displaystyle M } は以下のように表現できる．

(1.1){\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - B D^{-1} C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} }


さらにシューア補行列 {\displaystyle S_D = A - B D^{-1} C } が正則のとき，{\displaystyle M^{-1} } は以下のように表現できる．

(1.2){\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ( A - B D^{-1} C )^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} ( A - B D^{-1} C )^{-1} & - ( A - B D^{-1} C )^{-1} B D^{-1} \\ - D^{-1} C ( A - B D^{-1} C )^{-1} & D^{-1} + D^{-1} C ( A - B D^{-1} C )^{-1} B D^{-1} \end{bmatrix} }


事実2.

行列 {\displaystyle A } が正則のとき，{\displaystyle M } は以下のように表現できる．

(2.1){\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} }


さらにシューア補行列 {\displaystyle S_A = D - C A^{-1} B } が正則のとき，{\displaystyle M^{-1} } は以下のように表現できる．

(2.2){\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B ( D - C A^{-1} B )^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B ( D - C A^{-1} B )^{-1} \\ - ( D - C A^{-1} B )^{-1} C A^{-1} & ( D - C A^{-1} B )^{-1} \end{bmatrix} }


事実1.の証明.

以下の連立一次方程式を解くことを考える．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\; A x + B y = c }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\; C x + D y = d }

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; y = D^{-1} ( d - C x ) \;\;\; \because } 仮定より {\displaystyle D^{-1} } が存在する

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; A x + B ( D^{-1} ( d - C x ) ) = c }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; A x + B D^{-1} d - B D^{-1} C x = c }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; A x - B D^{-1} C x = c - B D^{-1} d }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; ( A - B D^{-1} C ) x = c - B D^{-1} d }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; S_D x = c - B D^{-1} d \;\;\; \because } 定義1.

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; x = S_D^{-1} ( c - B D^{-1} d ) \;\;\; \because } 仮定より {\displaystyle S_D^{-1} } が存在する

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; y = D^{-1} ( d - C S_D^{-1} ( c - B D^{-1} d ) ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^{-1} d - D^{-1} C S_D^{-1} ( c - B D^{-1} d ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^{-1} d - D^{-1} C S_D^{-1} c + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} d }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = D^{-1} d + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} d - D^{-1} C S_D^{-1} c }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ( D^{-1} + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} ) d - D^{-1} C S_D^{-1} c }


{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_D^{-1} ( c - B D^{-1} d ) \\ ( D^{-1} + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} ) d - D^{-1} C S_D^{-1} c \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} S_D^{-1} c - S_D^{-1} B D^{-1} d \\ - D^{-1} C S_D^{-1} c + ( D^{-1} + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} ) d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} S_D^{-1} & - S_D^{-1} B D^{-1} \\ - D^{-1} C S_D^{-1} & D^{-1} + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \;\;\;\;\;\; } (※)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ - D^{-1} C S_D^{-1} & D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \;\;\; } (※※)


よって以下が成り立ちこれは(1.2)である．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \because \; } (※※)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} S_D^{-1} & - S_D^{-1} B D^{-1} \\ - D^{-1} C S_D^{-1} & D^{-1} + D^{-1} C S_D^{-1} B D^{-1} \end{bmatrix} \;\;\;\;\;\; \because \; } (※)


以下が成り立つ．

{\displaystyle \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_D & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} S_D & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} }

{\displaystyle \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} }


よって以下のように(1.1)を得る．

{\displaystyle \;\;\; (※※) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} I & - B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} S_D^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & 0 \\ - D^{-1} C & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_D & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }


{\displaystyle \;\;\;\;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_D & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} }

(証明終わり)


注意1.

(1.1)は直接示すことも可能である．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - B D^{-1} C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ D^{-1} C & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - B D^{-1} C & 0 \\ D D^{-1} C & D \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & B D^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - B D^{-1} C & 0 \\ C & D \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A - B D^{-1} C + B D^{-1} C & B D^{-1} D \\ C & D \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} }


事実2.の証明.

以下の連立一次方程式を解くことを考える．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\; A x + B y = c }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\; C x + D y = d }

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; x = A^{-1} ( c - B y ) \;\;\; \because } 仮定より {\displaystyle A^{-1} } が存在する

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; C ( A^{-1} ( c - B y ) ) + D y = d }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; C A^{-1} c - C A^{-1} B y + D y = d }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; - C A^{-1} B y + D y = d - C A^{-1} c }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; ( D - C A^{-1} B ) y = d - C A^{-1} c }
{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; S_A y = d - C A^{-1} c \;\;\; \because } 定義2.

{\displaystyle \;\;\; \Leftrightarrow \; y = S_A^{-1} ( d - C A^{-1} c ) \;\;\; \because } 仮定より {\displaystyle S_A^{-1} } が存在する

{\displaystyle \;\;\; \Rightarrow \; x = A^{-1} ( c - B S_A^{-1} ( d - C A^{-1} c ) ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^{-1} c - A^{-1} B S_A^{-1} ( d - C A^{-1} c ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^{-1} c - A^{-1} B S_A^{-1} d + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} c }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = A^{-1} c + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} c - A^{-1} B S_A^{-1} d }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ( A^{-1} + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} ) c - A^{-1} B S_A^{-1} d }


{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( A^{-1} + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} ) c - A^{-1} B S_A^{-1} d \\ S_A^{-1} ( d - C A^{-1} c ) \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} ( A^{-1} + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} ) c - A^{-1} B S_A^{-1} d \\ - S_A^{-1} C A^{-1} c + S_A^{-1} d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B S_A^{-1} \\ - S_A^{-1} C A^{-1} & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \;\;\;\;\;\; } (※)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A^{-1} & - A^{-1} B S_A^{-1} \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \;\;\; } (※※)


よって以下が成り立ちこれは(2.2)である．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix} \;\;\; \because \; } (※※)

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B S_A^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B S_A^{-1} \\ - S_A^{-1} C A^{-1} & S_A^{-1} \end{bmatrix} \;\;\;\;\;\; \because \; } (※)


以下が成り立つ．

{\displaystyle \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & S_A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & S_A \end{bmatrix} }

{\displaystyle \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{bmatrix} }


よって以下のように(2.1)を得る．

{\displaystyle \;\;\; (※※) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} I & 0 \\ - C A^{-1} & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_A^{-1} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & - A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & S_A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} }


{\displaystyle \;\;\;\;\;\; \Rightarrow \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & S_A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} }

(証明終わり)


注意2.

(2.1)は直接示すことも可能である．

{\displaystyle \;\;\; \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & A A^{-1} B \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A & B \\ C A^{-1} A & C A^{-1} B + D - C A^{-1} B \end{bmatrix} }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} }

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


事実1.と事実2.の系として逆行列補題を得ます．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
系. (逆行列補題)

以下の恒等式が成り立つ．

{\displaystyle \;\;\; ( A + B D C )^{-1} = A^{-1} - A^{-1} B ( D^{-1} + C A^{-1} B )^{-1} C A^{-1} }


証明.

事実1.(1.2)の第1行第1列要素と事実2.(2.2)の第1行第1列要素は等しくなければならないので以下を得る．

{\displaystyle \;\;\; ( A - B D^{-1} C )^{-1} = A^{-1} + A^{-1} B ( D - C A^{-1} B )^{-1} C A^{-1} }

ここで {\displaystyle B = - B,\ D^{-1} = D } とすればよい．(証明終わり)

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


以上，シューア補行列の定義とその背景，逆行列補題との関係をまとめました．


参考文献
[1] University of Pennsylvania Jean Gallier先生のノート http://www.cis.upenn.edu/~jean/schur-comp.pdf
[2] Wikipedia Schur complement のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_complement
[3] Wikipedia Woodbury matrix identity のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity