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情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

逆像と逆写像の定義をメモする

数学 解析学基礎 位相空間論

数学の様々な分野で用いる概念である，逆像(inverse image)と逆写像(inverse mapping)の類似についてモヤモヤしてしまったので，それらの定義について文献[1]の記述をメモしておくことにしました．

 

逆像の定義を示します．
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定義 (値域と逆像)
写像 {\displaystyle f : X \to Y } を考える．部分集合 {\displaystyle A \subset X } に対して，

(4.3){\displaystyle \;\;\; f(A) = \{ f(a) \ | \ a \in A \} }

を {\displaystyle f } による {\displaystyle A } の像という．特に，{\displaystyle f(X) } を {\displaystyle f } の値域という．一般に，{\displaystyle f(X) \subset Y } が成り立つ．また，部分集合 {\displaystyle B \subset Y } に対して，

(4.4){\displaystyle \;\;\; f^{-1}(B) = \{ x \in X \ | \ f(x) \in B \} }

を {\displaystyle f } による {\displaystyle B } の逆像という．一般に，{\displaystyle f^{-1}(Y) = X } が成り立つ．
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逆写像の定義を示します．全単射の定義は文献[2]にあります．
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定義 (逆写像)
写像 {\displaystyle f : X \to Y } が全単射であるとき，任意の {\displaystyle y \in Y } に対して {\displaystyle f(x) = y } となるような {\displaystyle x \in X } がただ一つだけ存在する．したがって，{\displaystyle y } に対してそのような {\displaystyle x } を対応させることで，{\displaystyle Y } から {\displaystyle X } への写像が定義できる．これを {\displaystyle f } の逆写像といい，{\displaystyle f^{-1} } で表す．
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逆写像と逆像についての分献[1]の記述を引用します．
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■逆写像と逆像
写像 {\displaystyle f : X \to Y } が全単射とは限らなくても，{\displaystyle B \subset Y } の {\displaystyle f } による逆像 {\displaystyle f^{-1}(B) } はいつでも定義される．一方，{\displaystyle f } が全単射であれば，逆写像 {\displaystyle f : Y^{-1} \to X } が定義されるので，記号 {\displaystyle f^{-1}(B) } は {\displaystyle f } による {\displaystyle B } の逆像の意味なのか，逆写像 {\displaystyle f^{-1} } による {\displaystyle B } の像なのか区別できない．幸いなことに，それらは一致するので，共通の記号 {\displaystyle f^{-1}(B) } を用いても問題はない．実際，{\displaystyle f } が全単射のときは，

{\displaystyle \;\;\; \{ f^{-1}(y) \ | \ y \in B \} = \{ x \in X \ | \ f(x) \in B \} }

が容易に確かめられる．さらに，{\displaystyle B } がただ一つの元からなる場合 {\displaystyle B = \{ y \} } のときは，{\displaystyle f^{-1}(\{ y \}) = \{ f^{-1}(y) \} } が成り立つので，記号の乱用に寛大である．
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以上，ほぼ引用しただけですが，逆像と逆写像の定義をメモしました．違いが明確になってきたと思います．


参考文献
[1] 東北大学 尾畑伸明先生のノート http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf
[2] Wikipedia Bijection, injection and surjection のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Bijection,_injection_and_surjection