逆像と逆写像の定義をメモする
数学の様々な分野で用いる概念である,逆像(inverse image)と逆写像(inverse mapping)の類似についてモヤモヤしてしまったので,それらの定義について文献[1]の記述をメモしておくことにしました.
逆像の定義を示します.
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定義 (値域と逆像)
写像 を考える.部分集合
に対して,
(4.3)
を による
の像という.特に,
を
の値域という.一般に,
が成り立つ.また,部分集合
に対して,
(4.4)
を による
の逆像という.一般に,
が成り立つ.
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逆写像の定義を示します.全単射の定義は文献[2]にあります.
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定義 (逆写像)
写像 が全単射であるとき,任意の
に対して
となるような
がただ一つだけ存在する.したがって,
に対してそのような
を対応させることで,
から
への写像が定義できる.これを
の逆写像といい,
で表す.
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逆写像と逆像についての分献[1]の記述を引用します.
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■逆写像と逆像
写像 が全単射とは限らなくても,
の
による逆像
はいつでも定義される.一方,
が全単射であれば,逆写像
が定義されるので,記号
は
による
の逆像の意味なのか,逆写像
による
の像なのか区別できない.幸いなことに,それらは一致するので,共通の記号
を用いても問題はない.実際,
が全単射のときは,
が容易に確かめられる.さらに, がただ一つの元からなる場合
のときは,
が成り立つので,記号の乱用に寛大である.
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以上,ほぼ引用しただけですが,逆像と逆写像の定義をメモしました.違いが明確になってきたと思います.
参考文献
[1] 東北大学 尾畑伸明先生のノート http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf
[2] Wikipedia Bijection, injection and surjection のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Bijection,_injection_and_surjection