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連続関数の劣位集合は閉集合であることを証明する

数学 解析学基礎 数理最適化

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

逆像と逆写像の定義をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ


勉強を進めていて，連続関数の劣位集合(sublevel set)は閉集合であることについてモヤモヤしてしまったので，その証明をメモしておくことにしました．


問題を設定するため，いくつか準備をします．

凸集合の定義は文献[3]にあります．
凸関数の定義は文献[4]にあります．
連続関数の定義は文献[5]にあります．
逆像の定義は冒頭の過去記事(逆像と逆写像)にあります．


以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます． 

劣位集合の定義を示します．Boyd and Vandenberghe(2004)の3章1節にあります．{\displaystyle \mathrm{dom} \ f } は関数 {\displaystyle f } の定義域です．
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定義.(劣位集合)
以下で定義される集合を関数 {\displaystyle f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} } の {\displaystyle \alpha }-劣位集合という．

{\displaystyle \;\;\; C_{\alpha} = \{ x \in \mathrm{dom} \ f \ | \ f(x) \le \alpha \} }
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本記事の目的とは関係ありませんが，ついでに以下の事実を示します．{\displaystyle C } は凸集合です．
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事実1.
凸関数 {\displaystyle f : C \to \mathbb{R} } の劣位集合 {\displaystyle C_{\alpha} } は凸集合である．

証明.
{\displaystyle x,y \in C } とすると凸集合の定義より {\displaystyle \theta x + (1 - \theta)y \in C, \ 0 \le \theta \le 1 } である．

ここで {\displaystyle x,y \in C_{\alpha} } と仮定すると，{\displaystyle f(x) \le \alpha, \ f(y) \le \alpha } なので以下を得る．

{\displaystyle \;\;\; f(\theta x + (1 - \theta) y) \le \theta f(x) + (1 - \theta) f(y) \;\;\; \because f } は凸関数
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le \alpha + (1 - \theta) \alpha }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \alpha }

{\displaystyle \;\;\;\;\;\; \Rightarrow \theta x + (1 - \theta)y \in C_{\alpha} }

(証明終わり)
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本記事の目的である事実を示します．
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事実2.
連続関数 {\displaystyle f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} } の劣位集合 {\displaystyle C_{\alpha} } は閉集合である．

証明.
{\displaystyle N = (- \infty, \beta \ ], \ \beta \in \mathbb{R} } とおくと {\displaystyle N } は閉集合なので，{\displaystyle N^{c} = \mathbb{R} \setminus N } は開集合である．

{\displaystyle \;\;\; f^{-1}( \mathbb{R} \setminus N ) = f^{-1}( (-\infty, \infty) \setminus (- \infty, \beta \ ] ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f^{-1}( (\beta, \infty) ) }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ f(x) \in (\beta, \infty) \} }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \mathbb{R}^n \setminus \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ f(x) \in (-\infty, \beta \ ]  \} }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \mathbb{R}^n \setminus \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ f(x) \le \beta \} }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \mathbb{R}^n \setminus C_{\beta}  }
{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( C_{\beta} \right)^c \;\;\; } (※)

{\displaystyle f } は連続であり，連続関数による開集合の逆像は開集合なので，(※)は開集合である．したがって {\displaystyle C_{\alpha} } は閉集合である．(証明終わり)
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以上，連続関数の劣位集合は閉集合であることを証明しました．

 

参考文献
[1] Boyd, S., and Vandenberghe, L. (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press.
[2] Mathematics Stack Exchange https://math.stackexchange.com/questions/3153134/sublevel-sets-of-continuous-functions-are-closed
[3] Wikipedia Convex setのページ https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set
[4] Wikipedia Convex functionのページ https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
[5] Wikipedia Continuous functionのページ https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function