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エンジニアを目指す浪人のブログ

情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

Lpノルムの極限がL∞ノルムであることを証明する

測度論や関数解析の勉強をしていると,{\displaystyle L^p }ノルムの極限が {\displaystyle L^\infty }ノルム(L無限大ノルム)であることを証明なしで用いている場合を目にします.そこでモヤモヤすることがあったので,その証明を調べることにしました.

問題を設定するため,以下の定義をしておきます.Rudin(1987) Definition 3.6とDefinition 3.7を参考にしています.

定義.
測度空間 {\displaystyle (X, \mathcal{F} ,\mu) } を考える.
{\displaystyle 0 \lt p \lt \infty} とし,{\displaystyle f : X \to \mathbb{C} }複素数値可測関数,{\displaystyle g : X \to [ 0,\infty ] } を可測関数とする.
{\displaystyle ||f||_p = \left\{ \int |f(x)|^p d\mu(x) \right\}^{1/p} }
を定義する.{\displaystyle ||f||_p }{\displaystyle f}{\displaystyle L^p }-ノルムという.また,{\displaystyle ||f||_p \lt \infty } を満たす全ての {\displaystyle f } からなる集合を {\displaystyle L^p(\mu) } とする.
{\displaystyle \mathrm{ess} \sup g = \inf \{ \alpha \in [ 0 , \infty  ] \; ; \; \mu( \{ x : g(x) \gt \alpha \} ) = 0 \} }
を定義する.これを {\displaystyle g } の本質的上限という.
{\displaystyle ||f||_\infty = \mathrm{ess} \sup |f| = \inf \{ \alpha \in [ 0 , \infty  ] \; ; \; \mu( \{ x : |f(x)| \gt \alpha \} ) = 0 \} }
を定義する.{\displaystyle ||f||_\infty }{\displaystyle f}{\displaystyle L^\infty }-ノルムという.また,{\displaystyle ||f||_\infty \lt \infty } を満たす全ての {\displaystyle f } からなる集合を {\displaystyle L^\infty(\mu) } とする.

 

以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.以下の命題と証明は,Stein and Shakarchi(2011) Proposition 2.2をほぼ引用したものです (和訳し,証明には説明を追加しています.また,{\displaystyle f }{\displaystyle f(x) } の二つの記号が混在していますが,同じ意味で使用しています).

命題 2.2
{\displaystyle f \in \mathrm{L}^\infty(\mu)} とし,この {\displaystyle f } は {\displaystyle \mu } が有限測度となる集合に台をもつとする.このとき,すべての {\displaystyle p \in (0,\infty) } について {\displaystyle f \in \mathrm{L}^p(\mu)}であり,以下が成り立つ.
{\displaystyle ||f||_p \to ||f||_\infty \;\;\; \mathrm{as} \;\;\; p \to \infty. }

証明.
{\displaystyle E \subset X } を可測集合とし,{\displaystyle \mu(E) \lt \infty } とする.仮定より {\displaystyle f(x) = 0  \; \mathrm{for} \; \mathrm{all} \;\; x \in E^c } である.{\displaystyle \mu(E) = 0 } ならば,{\displaystyle E } 上で {\displaystyle ||f||_p = ||f||_\infty = 0 } であり証明の必要はない.{\displaystyle \mu(E) \neq 0 } ならば,
{\displaystyle ||f||_p = \left( \int_E |f|^p d\mu \right)^{1/p} \le \left( \int_E ||f||_{\infty}^p d\mu \right)^{1/p}   \le ||f||_\infty \mu(E)^{1/p} \longrightarrow ||f||_\infty \;\; \mathrm{as} \;\; p \to \infty  }
したがって,{\displaystyle f \in \mathrm{L}^p(\mu)} を得る.また {\displaystyle \lim \sup_{p \to \infty}||f||_p \le ||f||_\infty } を得る.
次に,任意の {\displaystyle \epsilon \gt 0 } に対してある {\displaystyle \delta \gt 0 } が存在し
{\displaystyle \mu( \{ x: |f(x)| \ge  ||f||_\infty - \epsilon \} ) \ge \delta }
が成り立つ.したがって
{\displaystyle \int_X |f|^p d\mu \ge \int_{\{ x \; : \; |f(x)| \ge  ||f||_\infty - \epsilon \}} |f|^p d\mu \ge \int_{\{ x \; : \; |f(x)| \ge ||f||_\infty - \epsilon \}} (||f||_\infty - \epsilon )^p d\mu \ge \delta (||f||_\infty - \epsilon )^p }
を得る.よって
{\displaystyle \lim \inf_{p \to \infty}||f||_p = \lim \inf_{p \to \infty} \left( \int_X |f|^p d\mu \right)^{1/p} \ge \lim \inf_{p \to \infty} \delta^{1/p} (||f||_\infty - \epsilon ) = ||f||_\infty - \epsilon }
であり,{\displaystyle \epsilon } は任意にとれるので {\displaystyle \lim \inf_{p \to \infty}||f||_p \ge ||f||_\infty } を得る.
以上より,
{\displaystyle \lim \inf_{p \to \infty}||f||_p = \lim \sup_{p \to \infty} ||f||_p = \lim_{p \to \infty} ||f||_p = ||f||_\infty }
であることが示せた.(証明終わり) 

 

以上,{\displaystyle L^p }ノルムの極限が {\displaystyle L^\infty }ノルムであることを証明しました.


参考文献
[1] Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (Third Edition), McGraw-Hill Book Company.
[2] Stein, E., and Shakarchi, R. (2011), Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton University Press.