Lpノルムの極限がL∞ノルムであることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

測度論や関数解析の勉強をしていると， $L^p$ ノルムの極限が $L^\infty$ ノルム(L無限大ノルム)であることを証明なしで用いている場合を目にします．そこでモヤモヤすることがあったので，その証明を調べることにしました．

問題を設定するため，以下の定義をしておきます．Rudin(1987) Definition 3.6とDefinition 3.7を参考にしています．

定義.
測度空間 $(X, \mathcal{F} ,\mu)$ を考える．
$0 \lt p \lt \infty$ とし， $f : X \to \mathbb{C}$ を複素数値可測関数， $g : X \to [ 0,\infty ]$ を可測関数とする．
$\left\| f \right\|_p = \left\{ \int |f(x)|^p d\mu(x) \right\}^{1/p}$
を定義する． $\left\| f \right\|_p$ を $f$ の $L^p$ -ノルムという．また， $\left\| f \right\|_p \lt \infty$ を満たす全ての $f$ からなる集合を $L^p(\mu)$ とする．
$\mathrm{ess} \sup g = \inf \{ \alpha \in [ 0 , \infty ] \; ; \; \mu( \{ x : g(x) \gt \alpha \} ) = 0 \}$
を定義する．これを $g$ の本質的上限という．
$\left\| f \right\|_\infty = \mathrm{ess} \sup |f| = \inf \{ \alpha \in [ 0 , \infty ] \; ; \; \mu( \{ x : |f(x)| \gt \alpha \} ) = 0 \}$
を定義する． $\left\| f \right\|_\infty$ を $f$ の $L^\infty$ -ノルムという．また， $\left\| f \right\|_\infty \lt \infty$ を満たす全ての $f$ からなる集合を $L^\infty(\mu)$ とする．

以上の設定のもとで，本記事の目的に進みます．以下の命題と証明は，Stein and Shakarchi(2011) Proposition 2.2をほぼ引用したものです (和訳し，証明には説明を追加しています．また， $f$ と $f(x)$ の二つの記号が混在していますが，同じ意味で使用しています)．

命題 2.2
$f \in \mathrm{L}^\infty(\mu)$ とし，この $f$ は $\mu$ が有限測度となる集合に台をもつとする．このとき，すべての $p \in (0,\infty)$ について $f \in \mathrm{L}^p(\mu)$ であり，以下が成り立つ．
$\left\| f \right\|_p \to \left\| f \right\|_\infty \;\;\; \mathrm{as} \;\;\; p \to \infty.$

証明.
$E \subset X$ を可測集合とし， $\mu(E) \lt \infty$ とする．仮定より $f(x) = 0 \; \mathrm{for} \; \mathrm{all} \;\; x \in E^c$ である． $\mu(E) = 0$ ならば， $E$ 上で $\left\| f \right\|_p = \left\| f \right\|_\infty = 0$ であり証明の必要はない． $\mu(E) \neq 0$ ならば，
$\left\| f \right\|_p = \left( \int_E |f|^p d\mu \right)^{1/p} \le \left( \int_E \left\| f \right\|_{\infty}^p d\mu \right)^{1/p} \le \left\| f \right\|_\infty \mu(E)^{1/p} \longrightarrow \left\| f \right\|_\infty \;\; \mathrm{as} \;\; p \to \infty$
したがって， $f \in \mathrm{L}^p(\mu)$ を得る．また $\lim \sup_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p \le \left\| f \right\|_\infty$ を得る．
次に，任意の $\epsilon \gt 0$ に対してある $\delta \gt 0$ が存在し
$\mu( \{ x: |f(x)| \ge \left\| f \right\|_\infty - \epsilon \} ) \ge \delta$
が成り立つ．したがって
$\int_X |f|^p d\mu \ge \int_{\{ x \; : \; |f(x)| \ge \left\| f \right\|_\infty - \epsilon \}} |f|^p d\mu \ge \int_{\{ x \; : \; |f(x)| \ge \left\| f \right\|_\infty - \epsilon \}} (\left\| f \right\|_\infty - \epsilon )^p d\mu \ge \delta ( \left\| f \right\|_\infty - \epsilon )^p$
を得る．よって
$\lim \inf_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p = \lim \inf_{p \to \infty} \left( \int_X |f|^p d\mu \right)^{1/p} \ge \lim \inf_{p \to \infty} \delta^{1/p} (\left\| f \right\|_\infty - \epsilon ) = \left\| f \right\|_\infty - \epsilon$
であり， $\epsilon$ は任意にとれるので $\lim \inf_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p \ge \left\| f \right\|_\infty$ を得る．
以上より，
$\lim \inf_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p = \lim \sup_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p = \lim_{p \to \infty} \left\| f \right\|_p = \left\| f \right\|_\infty$
であることが示せた．(証明終わり)

以上， $L^p$ ノルムの極限が $L^\infty$ ノルムであることを証明しました．

参考文献
[1] Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (Third Edition), McGraw-Hill Book Company.
[2] Stein, E., and Shakarchi, R. (2011), Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton University Press.