フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間)
確率過程を用いる文献を読んでいるとフィルトレーション(filtration)という概念がでてきます.自分の頭を整理するため,その定義がどのように導入されるのか,どのように説明しているか,についていくつかの教科書を調べることにしました.本記事では離散時間確率過程について取り扱い,次の記事で連続時間確率過程について取り扱います.
Williams(1991)から引用します. です.
10.1 Filtered spaces
As basic datum, we now take a filtered space. Here,
is a probability triple as usual,
is a filtration, that is, an increasingly family of sub-
-algebras of
:
.
We define
.
Intuitive idea. The information aboutin
available to us at (or, if you prefer, just after) time
consists precisely of the values of
for all
measurable function
. Usuallly,
is the natural filtration
of some (stochastic) process, and then the information about
which we have at time
consists of the values
.
直感的に,以下のように解釈してよいことがわかります.
・フィルトレーション は
の部分
-加法族であり,確率過程により生成される
-加法族(wikipediaも参照ください)である
・ある時点において利用できる に関する情報は,その時点までの確率変数(の実現値の)列である
ついでに,適合過程の定義も載せておきます.
10.2 Adapted process
A processis called adapted (to the filtration
) if for each
,
is
-measurable.
Intuitive idea. Ifis adapted, the value
is known to us at time
. Usually,
and
for some
-measurable function
on
.
以上,離散時間確率過程におけるフィルトレーションの定義について調べてみました.次の記事では連続時間の場合について調べることにします.