逆行列の固有値は元の行列の固有値の逆数であることの証明をメモする

本記事は以下の過去記事の結果を用います．

正則行列の固有値は零でないことの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ

応用上よく用いられると思われる，線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました．文献[1]をほぼ引用したものです．固有値(eigenvalues)，固有ベクトル(eigenvectors)の定義は文献[2]にあります．

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事実.

ある行列の逆行列の任意の固有値は元の行列の固有値の逆数である．

証明.

正則行列 $A$ を考える． $A$ の任意の固有値とそれに対応する固有ベクトルを $\lambda, \ v \ ( \neq 0 )$ とすると $A v = \lambda v$ であり，冒頭の過去記事事実.より $\lambda \neq 0$ である．

以下を得る．

$\;\;\;\;\;\; A v = \lambda v$
$\;\;\; \Rightarrow A^{-1} A v = A^{-1} ( \lambda v ) \;\;\; \because A$ は正則行列
$\;\;\; \Leftrightarrow v = \lambda A^{-1} v$
$\;\;\; \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda} v = A^{-1} v \;\;\;\;\;\; \because \lambda \neq 0$