二次ノルムの双対ノルムを導出する - エンジニアを目指す浪人のブログ

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

行列式の対数はその行列の凹関数であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

勉強を進めていて，二次ノルム(quadratic norm)の双対ノルム(dual norm)を導出したので、その内容をメモしておくことにしました．

問題を設定するため，いくつか準備をします．

ユークリッドノルムの定義は文献[2]にあります．
双対ノルムの定義は文献[3]にあります．
二次ノルムの定義は冒頭の過去記事(二次ノルムの定義)定義.にあります．
平方根行列の定義は冒頭の過去記事(行列式の対数)事実0.4.にあります．

以上の設定の下で，本記事の目的に進みます．

以下の事実を示します． $\langle \cdot , \cdot \rangle$ は通常の内積です．

'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
事実.
$z \in \mathbb{R}^n$ とし， $n \times n$ 行列 $P$ は対称行列で正定値とする． $P$ -二次ノルムの双対ノルム $\left\| \cdot \right\|_*$ について以下が成り立つ．

$\;\;\; \left\| z \right\|_* = \left\| P^{-1/2} z \right\|_2$

証明.

$\;\;\; \left\| z \right\|_* = \sup_{ \{ x \ : \ \left\| x \right\|_P \ \le 1 \} } \langle z , x \rangle$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ \left\| P^{1/2} x \right\|_2 \ \le 1 \} } \langle z , x \rangle$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ \left\| P^{1/2} x \right\|_2 \ \le 1 \} } z^T x$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ \left\| P^{1/2} x \right\|_2 \ \le 1 \} } z^T P^{-1/2} P^{1/2} x$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ x = P^{-1/2} \ y \ , \ \left\| y \right\|_2 \ \le 1 \} } ( z^T P^{-1/2}) y$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ x = P^{-1/2} \ y \ , \ \left\| y \right\|_2 \ \le 1 \} } y^T ( z^T P^{-1/2})^T$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sup_{ \{ x \ : \ x = P^{-1/2} \ y \ , \ \left\| y \right\|_2 \ \le 1 \} } y^T ( P^{-1/2} z ) \;\;\;\;\;\; \because (P^{-1/2})^T = P^{-1/2}$