エルミート行列のスペクトルノルムは最大固有値の絶対値に等しいことを証明する

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

エルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ

勉強を進めていて，エルミート行列のスペクトルノルム(spectral norm)は最大固有値の絶対値に等しいことを証明したので、その内容をメモしておくことにしました．

スペクトルノルムの定義は文献[1]にあります．

$n \times n$ 行列 $A$ の最大固有値を $\lambda_{\mathrm{max}} ( A )$ とします．冒頭の過去記事(エルミート行列のすべての固有値)事実.より， $\lambda_{\mathrm{max}} ( A )$ は実数です．

以下の事実を示します．

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事実.

$n \times n$ エルミート行列 $A \ (= A^* = (\bar{A})^T)$ について以下が成り立つ．

$\;\;\; \left\| A \right\|_2 = \left| \lambda_{\mathrm{max}} (A) \right|$

証明.

$\;\;\; \left\| A \right\|_2 = \left[ \lambda_{\mathrm{max}} ( A^* A) \right]^{1/2} \;\;\; \because$ スペクトルノルムの定義(文献[1]にあります)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ \lambda_{\mathrm{max}} ( A^2) \right]^{1/2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ \lambda_{\mathrm{max}} ( A )^2 \right]^{1/2} \;\;\; \because A^2 x = A \lambda x = \lambda^2 x \;\;\;$ (文献[2]にあります)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left| \lambda_{\mathrm{max}} ( A ) \right|$

(証明終わり)
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以上，エルミート行列のスペクトルノルムは最大固有値の絶対値に等しいことを証明しました．

参考文献
[1] Wikipedia Matrix norm のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm
[2] Wikipedia Eigenvalues and eigenvectors のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors