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情報系に役立ちそうな応用数理をゆるめにメモします

行列が半正定値(あるいは正定値)であるための必要十分条件はすべての固有値が非負(あるいは正)であることを証明する

数学 線形代数

本記事は以下の過去記事の内容を用います．

分散共分散行列(と相関行列)は半正定値であることを証明する - エンジニアを目指す浪人のブログ

エルミート行列のすべての固有値は実数であることの証明をメモする - エンジニアを目指す浪人のブログ


応用上よく用いられると思われる，線形代数における以下の事実について証明を調べたのでメモすることにしました．文献[1]Lemma 2.1.7.を参考にしています．半正定値，正定値の定義は冒頭の過去記事(分散共分散行列)定義 4.1.11.にあります．

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事実.

行列が半正定値であることとすべての固有値が非負であることは同値である．行列が正定値であることとすべての固有値が正であることは同値である．

証明.

{\displaystyle n \times n } 半正定値行列 {\displaystyle A } を考える．これは実対称行列 {\displaystyle A = A^T } なのでエルミート行列 {\displaystyle A = A^* = (\bar{A})^T } である．{\displaystyle A } の任意の固有値とそれに対応する固有ベクトルを {\displaystyle \lambda, \ v \ ( \neq 0 ) } とすると {\displaystyle A v = \lambda v } であり冒頭の過去記事(エルミート行列)事実.より {\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}, \ v \in \mathbb{R}^n } である．よって以下を得る．

{\displaystyle \;\;\; 0 \le v^T A v = v^T \left( \lambda v \right) = \lambda v^T v \;\;\; } (※)

したがって {\displaystyle v^T v \gt 0 } なので {\displaystyle \lambda \ge 0 } でなければならない．


正定値については(※)の {\displaystyle \le } が {\displaystyle \lt } になるので {\displaystyle \lambda \gt 0 } でなければならない．(証明終わり)

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以上，行列が半正定値(あるいは正定値)であるための必要十分条件はすべての固有値が非負(あるいは正)であることを証明しました．



参考文献
[1] National University of Ireland Galway Rachel Quinlan先生のノート http://www.maths.nuigalway.ie/~rquinlan/linearalgebra/section2-1.pdf
[2] Wikipedia Definiteness of a matrix のページ https://en.wikipedia.org/wiki/Definiteness_of_a_matrix