本記事は前回の記事の続きです.離散時間の場合と比較しながら読むとイメージしやすいと思います.
フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ
さっそく連続時間の場合の定義を調べていきます.Kuo(2006)には以下のように書いてあります.
Definition 2.5.1. A filtration on is an increasing family of -fields. A stochastic process is said to be adapted to if for each , the random variable is -measurable.
In case the filtration is not explicitly specified, then the filtration is understood to be the one given by .
もう少し気の利いた説明がほしいので,Revuz and Yor(2004)を見てみます.
(4.1) Definition. A filtration on the measurable space is an increasing family of sub--algebras of . In other words, for each we have a sub--algebra and if . A measurable space endowed with a filtration , is said to be a filtered space.
(4.2) Definition. A process X on is adapted to the filtration if is -measurable for each .
Any process is adapted to its natural filtration and is to say for each .
It is the introduction of a filtration which allows for the parameter to be really thought of as “time”. Heuristically speaking, the -algebra is the collection of events which may occur before or at time or, in other words, the set of possible pasts up to time . In the case of stationary prcesses, where the law invariant, it is the measurability with respect to which places the event in time.
上記のうち,フィルトレーションの解釈についての記述を和訳すると以下となりそうです.
・フィルトレーションの導入によりパラメータ を時間の概念として考えることができる
・フィルトレーション(-加法族) は,時点 あるいはそれ以前に起こるかもしれない事象の族,いいかえると,時点 までの過去と解釈できる
・法則不変の確率過程においては, に関する可測性は事象を(時点 あるいはそれ以前の)時間に配置することと解釈できる
また,Kuo(2006)の記述にあるフィルトレーションの構成はRevuz and Yor(2004)の記述にある自然なフィルトレーション(natural filtration)と同じものです.
以上,2つの記事でフィルトレーションが教科書でどのように導入されているか調べてみました.まずは離散時間で考えればイメージしやすく,連続時間はそのアナロジーであるとして納得すればよさそうです.
参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Revuz, D., and Yor, M. (2004), Continuous Martingales and Brownian Motion (3rd Edition), Springer.
[3] Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press.