停止時刻の定義を調べる(離散時間と連続時間)
確率過程を用いる文献を読んでいると停止時刻(stopping time)という概念がでてきます.自分の頭を整理するため,その定義がどのように導入されるのか,どのように説明しているか,についていくつかの教科書を調べることにしました.本記事で扱うフィルトレーションについては以下の過去記事も参考になります.
フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ
フィルトレーションの定義を調べるその2(連続時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ
離散時間の定義はWilliams(1991)から引用します.2つの同値な定義が紹介されています.
10.8. Stopping time
A map is called a stopping time if,
(a) , equivalently,
(b)
Note that can be .Proof of the equivalence of (a) and (b). If has property (a), then
.
If has property (b), then for and
.
Intuitive idea. is a time when you can decide to stop playing our game. Whether or not you stop immediately after the game depends only on the history up to (and including) time .
Williams先生によると,停止時刻とはゲームをやめる時刻であり,((b)について考えると) 回目のゲームの直後にゲームをやめるかどうかは 回目(を含む)までの情報のみに依存することを意味している,と解釈できるということです.また,その実現値に も取りうる定義となっています.
次に,連続時間の定義はKuo(2006)から引用します.
Definition 5.4.1. A random variable is called a stopping time with respect to a filtration if for all .
In the definition can be . Intuitive speaking, we can think of as the time to stop playing game. The condition for fo be a stopping time means that the decision to stop playing the game before or at time should be deterined by the information provided by .
これはWilliams(1991)の定義の(a)を連続時間にしたものと解釈できると思います.また,停止時刻は確率変数であることが明示されています.
以上,定義を並べただけに近いですが,停止時刻について調べてみました.
参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press.