停止時刻の定義を調べる(離散時間と連続時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

確率過程を用いる文献を読んでいると停止時刻(stopping time)という概念がでてきます．自分の頭を整理するため，その定義がどのように導入されるのか，どのように説明しているか，についていくつかの教科書を調べることにしました．本記事で扱うフィルトレーションについては以下の過去記事も参考になります．

フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

フィルトレーションの定義を調べるその2(連続時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

離散時間の定義はWilliams(1991)から引用します．2つの同値な定義が紹介されています．

10.8. Stopping time
A map $T:\Omega \to \{ 0,1,2,\cdots;\infty \}$ is called a stopping time if,
(a)              $\{ T \le n \} = \{ \omega: T(\omega) \le n \} \in \mathcal{F}_n, \;\; \forall n \le \infty$ ,   equivalently,
(b)              $\{ T = n \} = \{ \omega: T(\omega) = n \} \in \mathcal{F}_n, \;\; \forall n \le \infty$
Note that $T$ can be $\infty$ .

Proof of the equivalence of (a) and (b). If $T$ has property (a), then
                 $\{ T = n \} = \{ T \le n \} \setminus \{ T \le n-1 \} \in \mathcal{F}_n, \;\; \forall n \le \infty$ .
If $T$ has property (b), then for $k \le n, \{ T=k \} \in \mathcal{F}_k \subseteq \mathcal{F}_n$ and
                     $\{ T \le n \} = \bigcup_{0 \le k \le n} \{ T = k \} \in \mathcal{F}_n$ .
Intuitive idea. $T$ is a time when you can decide to stop playing our game. Whether or not you stop immediately after the $n^{\mathrm{th}}$ game depends only on the history up to (and including) time $n : \{ T=n \} \in \mathcal{F}_n$ .

Williams先生によると，停止時刻とはゲームをやめる時刻であり，((b)について考えると) $n$ 回目のゲームの直後にゲームをやめるかどうかは $n$ 回目(を含む)までの情報のみに依存することを意味している，と解釈できるということです．また，その実現値に $\infty$ も取りうる定義となっています．

次に，連続時間の定義はKuo(2006)から引用します．

Definition 5.4.1. A random variable $\tau : \Omega \to [ a,b ]$ is called a stopping time with respect to a filtration $\{ \mathcal{F}_t;a \le t \le b \}$ if $\{ \omega; \tau(\omega) \le t \} \in \mathcal{F}_t$ for all $t \in (a,b)$ .

In the definition $b$ can be $\infty$ . Intuitive speaking, we can think of $\tau$ as the time to stop playing game. The condition for $\tau$ fo be a stopping time means that the decision to stop playing the game before or at time $t$ should be deterined by the information provided by $\mathcal{F}_t$ .

これはWilliams(1991)の定義の(a)を連続時間にしたものと解釈できると思います．また，停止時刻は確率変数であることが明示されています．

以上，定義を並べただけに近いですが，停止時刻について調べてみました．

参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press.